Question

（1）证明{An}为等差数列，求出{An}通项公式
(2)证明1/S1+1/S2+…+1/Sn＜2

Answer 1

(1)根据题意得
2Sn=An^2+An
2Sn-1=An-1^2+An-1
两式相减得
2(Sn-Sn-1)=An^2-An-1^2+An-An-1
2An=An^2-An-1^2+An-An-1
An^2-An-1^2-An-An-1=0，平方差加分组分解得
(An+An-1)(An-An-1)-(An+An-1)=0
因为数列各项为正数，所以An+An-1>0，所以等式两边同除An+An-1得
An-(An-1)-1=0
An-An-1=1
另外，令n=1，则S1=A1，所以
2A1=A1^2+A1
A1((A1)-1)=0，因为各项为正，所以A1=1即数列为首项为1，公差为1的等差数列，通项公式为
An=1+(n-1)*1=n

(2)因为An=n那么对于任意正数i(0<i≤n)有
Si=i(i+1)/2，所以
1/Si=2/[i(i+1)]=2[1/i-1/(i+1)]
所以不等式左边
=2(1-1/2)+2(1/2-1/3)+...+2(1/n-1/n+1)
=2(1-1/2+1/2-1/3+1/3-...+1/n-1/n+1)
=2(1-1/n+1)
<2
所以不等式成立

Answer 2

由已知，4Sn=an2+2an，且an＞0．
当n=1时，2a1=a12+a1，解得a1=1．
当n≥2时，有2Sn-1=an-12+an-1．
于是2Sn-2Sn-1=an2-an-12+an-an-1，
即2an=an2-an-12+an-an-1．
即（an+an-1）（an-an-1）=（an+an-1）．
因为an-an-1=1
所以是等差数列
(2)an=n, Sn=(n�0�5+n)/2
1/Sn=2/(n�0�5+n)
原式=2(1/(1+1)+1/(2+4)+1/(3+9)+...+1/(n�0�5+n))
=2(1-1/2+1/2-1/3+1/3-1/4+...+1/n-1/n+1)
=2(1-1/n+1)
＜2

Answer 3

我想了很久，还是猜不出An2是什么东西。