Question

求lim （tanx-sinx）/x³ （x→0）

我用洛比达法则做到
=lim [2sinx（cosx）^-3+sinx]/6x,x→0 ①
=lim [6sinx(cosx)^-3+cosx]/6,x→0 ②
=1/6

答案是1/2，我感觉可能是②的地方算错了，但究竟是怎么错的啊，求大神指点！

Answer 1

上式可变为lim【sin x*(cos x-1)】/x3；
又因为 sin x~x,(cos x-1)~1/2 X2
所以答案为1/2.
你的解答是步骤2错了，步骤1得出的式子不符合洛必达法则条件，当x趋近于0时，分子不趋近于0，不能像你那样再用罗比达法则

追问

①中sinx→0，分子是趋于0的

追答

sorry，我看错你的解答了。
但是你的解题思路一开始就很另类，把一个简单的题目复杂化，明显用洛必达法则会把式子复杂化啊。

追问

嗯，确实是的。但我才学洛比达，做这题就是想练练手。而且如果原式是有解的话，用洛必达的过程中应该不会出现非0/0型的或者∞/∞的式子呀。
所以我的过程究竟是哪里错掉了OTZ

追答

你要不检查下是不是求导求错了

追问

嗯，我再检查一下吧，谢谢学长

Answer 2

0/0型 分子分母同时分别求导
=lim(sinx/x)*lim(secx-1)/x^2
=1*lim(secxtanx)/2x

=1*lim(sinx/2x*cos^2x)
=lim(1/2cos^2x)
=1/2

Answer 3

　　用洛比达法则：
　 　lim(x→0)(tanx-sinx)/x³ (0/0)
　　= lim(x→0)[(secx)^2-cosx]/3x^2
　　= lim(x→0)[1-(cosx)^3]]/[3(x^2)(cosx)^2] （化简）

　　= lim(x→0){[1+cosx+(cosx)^2]/[3(cosx)^2]}{(1-cosx)/x^2}

　　= (3/3)(1/2)
　　= 1/2。
　　还可用Taylor公式，……