Question

已知二次函数F(X)满足F(-1)=0,且X≤F(X)≤1/2(X２＋1)对一切实数X恒成立,(1)求F(1);(2)求F(X)解析式。

中学数学二次方程的 一道题。

Answer 1

(1)X≤F(X)≤1/2(X２＋1)对一切实数X恒成立
取x=1
1≤F(1)≤1/2(1＋1) =1
故F(1)=1
(2)设f(x)=ax^2+bx+c
F(1)=1 a+b+c=1
F(-1)=0 a-b+c=0
b=1/2
c=1/2-a
f(x)=ax^2-0.5x+0.5-a
X≤F(X)≤1/2(X２＋1)对一切实数X恒成立
ax^2-1.5x+0.5-a>=0 (a-0.5)x^2-0.5x-a<=0
恒成立
a>0 1.5^2-4a(0.5-a)<=0
a-0.5<0 0.5^2+4a(a-0.5)<=0
a=0.25
f(x)=0.25x^2-0.5x+0.25

Answer 2

（1）令x=1，由X≤F(X)≤1/2(X２＋1)，则有1≤F（1）≤1/2(1+1)=1
所以F（1）=1
（2）F(X)≤1/2(X２＋1)，得1/2（x^2+1）>=F(x),又1/2（x^2+1）>=x（由(x-1）^2>=0得到）
所以F（x）<=x
而F（x）>=x
所以F（x）=x（x不等于-1）
故F（x）=x（x不等于-1）
F（x）=0（x=-1）