Question

已知二次函数f（x)满足f（-2）=0，且2x≤f(x)≤1/2(x^2+4)对一切实数x恒成立 ①求f（2）的值

②求f（x)的解析式
③设数列{1/f(n)}的前n项和为Sn,求证：Sn＞n/(n+3)(n∈N）

Answer 1

1)
2x≤f(x)≤1/2(x^2+4)对一切实数x恒成立
当x=2时有
2*2≤f(2)≤1/2(2^2+4)
即4≤f(2)≤4
f(2)=4
2)
令f(x)=ax^2+bx+c
f(-2)=0
f(2)=4
解之得b=1
4a+c=2
又因为2x≤f(x)≤1/2(x^2+4)
所以，ax^2-x+c≥0和
(a-1/2)x^2+x+c-2≤0恒成立
所以有
a>0
△1=1-4ac≤0
a-1/2<0
△2=1^2-4(a-1/2)(c-2)≤0
解之得
a=1/4
c=1
所以，f(x)=1/4x^2+x+1
3）
证明：
数列an=1/f(n)=1/[1/4n^2+n+1]=4/(n+2)^2
因为n>=1
所以，4/(n+2)^2>4/(n+2)(n+2+1)=4[(n+3)-(n+2)]/(n+2)(n+3)=4/(n+2)-4/(n+3)
所以Sn=a1+……+an
>4/(1+2)-4/(1+3)+4/(2+2)-4/(2+3)+……+4/(n+2)-4/(n+3)
=4/3-4/(n+3)=[4(n+3)/3-4]/(n+3)=4n/3(n+3)>n/(n+3)