Question

高中数学三角函数题，求高手解答。

Answer 1

首先把两种角倍角2x和单角x统一成单角x。为此，将tan2x用倍角的正切公式展开，得关于tanx的一个分式。
y=tan2x·tan³x
＝2tan^4 x/(1-tan^2 x)。
再用换元法。特别注意中间变量的取值范围。通过换元，一箭双雕，既使超越函数代数化，又使高次问题低次化。
令t＝tan^2 x，π/4<x<π/2，t>1，
y=2t^2/(1-t)。
创造条件，用均值定理法。
为此，需对分子进行分解，加减常数等一系列变换。
y=2t^2/(1-t)=[2(t+1)(t-1)+2]/(1-t)
=-2(t+1)+2/(1-t^2)
=-2[(t-1)+1/(t-1)+2]
≤-2[2+2]
＝－8，
当t-1＝1/(t-1)，t＝2，tanx=√2, x=arc tan(√2)时，
y max＝－8。

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Answer 2

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