Question

已知方程x²-2x-1=0,利用根与系数的关系求一个一元二次方程

已知方程x²-2x-1=0,利用根与系数的关系求一个一元二次方程，使它的根事原方程各根的(1)平方；(2)相反数

Answer 1

x1+x2=2 x1x2=-1
(1)平方:x1²+x2²=x1²+2x1x2+x2²-2x1x2=(x1+x2)²-2x1x2=2²-2(-1)=5+2=7
x1²x2²=(x1x2)²=(-1)²=1
方程为x²-7x+1=0
(2)相反数：-x1-x2=-(x1+x2)=-2
(-x1)(-x2)=x1x2=-1
方程为x²+2x-1=0

Answer 2

x^2-2x-1=0，由韦达定理：
x1+x2=2，x1*x2=-1，
（1）、设新方程的根为a=x1^2，b=x2^2，则：
a+b=(x1+x2)^2-2x1*x2=2^2-2*(-1)=6，
a*b=(x1*x2)^2=1，
——》方程为：x^2-6x+1=0；
（2）、设新方程的根为a=-x1，b=-x2，则：
a+b=-(x1+x2)=-2，
a*b=x1*x2=-1，
——》方程为：x^2+2x-1=0。