Question

已知函数f(x)=x/ax+b(a,b为常数,且a不等于0）满足f(2)=1,f(x)=x只有唯一的实数解，求函数y=f(x)的解析式

常规算法：：∵f(2)=1,f(x)=x/(ax+b)
∴2=2a+b
∴f(x)=x
∴f(x)=x/(ax+2-2a)=x
∴ax^2+(1-2a)x=0
∵有唯一解
∴△=(1-2a)^2=0
1-2a=0,a=1/2
∴b=1
∴f(x)=2x/(x+2)

我是这样算的：f(2)=2/(2a+b)=1，∴2a+b=2...(1)
f(x)=x，即x/(ax+b)=x
重点来了。。若x≠0，则有ax+b=1，一次函数，a≠0，一定有解。
∴当x=0时，f(x)不存在。此时，有b=0....(2)
将2代入1，得a=1.
∴f(x)=x/x 即f(x)=1，(x≠0)
这个结论怎么解释。。

Answer 1

• f(x)=x只有唯一的实数解

• 这话你没理解清楚

• ∴当x=0时，f(x)不存在

• 这又是何逻辑

   

• 总之 你的解法  乱七八糟

追问

x≠0时，f(x)=ax+b=1一定有解。所以实数解一定在x≠0范围内。
x=0时，f(x)=0 (如果ax+b≠0的话。）这样就两个解了。所以我说ax+b=0,这样x=0时f(x)不存在，就满足题意了。

不知道我这个逻辑有什么错误。还有我算出来的f(x)=1,x≠0这个答案完全符合题目的那几个要求。f(2)=1 f(x)=x有唯一实数解（x=1时）.怎么能叫乱七八糟呢。。

追答

• 若x≠0，则有ax+b=1，一次函数，a≠0，一定有解。

• 为什么一定有解

• 你以为一定有  x=(1-b )/a

• 如何确定   x=(1-b )/a  ≠  0

追问

那你看分两种情况怎么样。
如果x=(1-b)/a=0，那么b=1，a=1/2
如果x=(1-b)/a≠0，那么就是我算的那个，b=0,a=1..怎么破。

追答

1. 你因果关系  搞混了

2.  

3. 若x≠0，则有ax+b=1，一次函数，a≠0，一定有解

4. 可这个解是 x=(1-b )/a   这个解你又无法保证  是不是=0

5. 你如何一开始就  说  若x≠0一定有解

6.  

7. x就是解

8. 你这样是说   如果解≠0  一定有解(1-b )/a

9. 可如果(1-b )/a=0

10. 那不是说

11. 如果解≠0  一定有解(1-b )/a=0

12. 这不矛盾

追问

。。。两个问题，1：你的第二和第六是啥。。。
2：你仔细看我的追问。。我吧（1-b)/a分成两种情况，一种等于0一种不等于0.这样哪里来的矛盾。

Answer 2

追问

x≠0时，x/(ax+b)=x这个式子就可以把x约掉，得1/(ax+b)=1.∴ax+b=1.。。

追答

好吧我浆糊了
应该让x=0和ax+b=1同时成立

也就是说，求出来的x值，并不是一个不成立一个成立，而是两个值要相等

就像我们解一个一元二次方程只有一根，不是让另一个根不存在，而是说它让两个完全相等的根

顺便再说一下关于x不等于0的观点，这个时候题目给你的定义域是x要属于全体实数的，那么x=0的时候必须要有值和它对应啊，可是这个时候方程是无解的，x取不出值，那么方程就不合题意了，所以你不能够让x不等于0，只能够让这两根相等，让它们“相互妥协”

追问

我大概明白了。。那是不是说如果这题目说了可以有x∉R之类的话，我那个解就算对了？

追答

应该是这样的

Answer 3

∴当x=0时 f(x)=x/b =x 所以b=1 所以a=1/2