Question

已知sin(A+B)=4/5,sinA=3/5,A,B∈[0,π/2],(1)求cos(A+B)的值 (2)求cosB的值

我看网上求出来的结果都是sinB=7/25,cosB=24/25,cos(A+B)=3/5
我的看法是：∵sinA=3/5，A∈[0，π/2]，∴cosA=4/5。
由于sin(A+B)=4/5，sinA=3/5，A≈36°，(A+B)≈126°，又∵A，B∈[0,π/2]闭区间，∴猜想B可能有两解。
当A+B>90°时，以反函数出发，猜测B=90°时，sin((arcsin(sinA))°+90°)=4/5，猜想成立。
B=90°时，sinB=1，cosB=0
验证：sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=3/5*0+4/5*1=4/5，符合题意。故B=90°是正解。cosB=0是正解。
当A+B<90°时，sinAcosB+cosAsinB=4/5，化简得：3cosB+4sinB=4
将sinB化为cosB，求得sinB=7/25,cosB=24/25。
检验：sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=3/5*24/25+4/5*7/25=4/5，符合题意。故cosB=24/25是正解。
综上所述：cosB=0或cosB=24/25。
cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB
cos(A+B)=-3/5或cos(A+B)=3/5。各位大侠评判一下是否正确？？？

Answer 1

解答：你前面的推论有问题。因为cos45度＜cosB=4/5＜cos30度，所以B在30度和45度之间，
又因为：sin30度＜sinA=3/5＜sin45度，所以A在30度和45度之间，
综上：60度＜A+B＜90度，所以cos(A+B)=-3/5是错误的。

追问

cos45度＜cosB=4/5＜cos30度中cosB=4/5是怎么出来的？我说的cos(A+B)=-3/5是当B=90°时的情况。

追答

更正：
因为sinA=3/5,A∈[0,π/2]，所以sin30度＜sinA=3/5＜sin45度
又sin(A+B)=4/5分两种情况：
1、sin45度＜sin(A+B)=4/5＜sin60度，所以45度＜A+B＜60度，即：0度＜B＜15度，符合B∈[0,π/2]；
2、sin45度＜sin(A+B)=4/5＜sin60度，所以120度＜A+B＜135度，即：B＞90度，与B∈[0,π/2]不符，所以你的推论错误。

所以cos(A+B)不可能为负值。

追问

那为什么B拿90°代入值是对的呢？与题目中sin(A+B)=4/5不矛盾啊。。。

Answer 2

A,B属于闭区间0到90°,结果对的，解题时可以用sinB²+cosB²=1,sin(A+B)=4/5，联立解
开区间的话，那就是一个