Question

初二数学几何难题

正方形ABCD中AB=8，F是BC中点，在FC上取一点Q,连接AQ，与DF交于点P，并且使得角DAP=2角CDF,求CQ的长。

Answer 1

一、a²+b²+c²-ab-bc-ac
=1/2(2a²+2b²+2c²-2ab-2bc-2ac)
=1/2(a²-2ab+b²+b²-2bc+c²+a²-2ac+c²)
=1/2[(a-b)²+(b-c)²+(a-c)²]
∵a=1999x+2000,b=1999x+2001,c=1999x+2002
∴原式=1/2[(1999x+2000-1999x-2001)²+(1999x+2001-1999x-2002)²+(1999x+2000-1999x-2002)²]
=1/2[(-1)²+(-1)²+(-2)²]
=1/2(1+1+4)
1/2×6
=3
二、∵6=7-1
∴6(7+1)(7^2+1)(7^4+1)(7^8+1)+1
=(7-1)(7+1)(7^2+1)(7^4+1)(7^8+1)+1
=(7^2-1)(7^2+1)(7^4+1)(7^8+1)+1
=(7^4-1)(7^4+1)(7^8+1)+1
=(7^8-1)(7^8+1)+1
=7^16-1+1
=7^16
三、a-2b+3c=7
①
4a+3b-2c=3
②
①×3,得
3a-6b+9c=21
③
②×2,得
8a+6b-4c=6
④
④-③,得
5a+12b-13c=-15
四、（a²+b²-c²）²-4a²b²
=(a²+b²-c²+2ab)(a²+b²-c²-2ab)
=[(a²+2ab+b²)-c²][(a²-2ab+b²)-c²]
=[(a+b)²-c²][(a-b)²-c²]
=(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(a-b-c)
∵a,b,c为三角形ABC的三边
∴a＞0,b＞0,c＞0,a+b＞c,a+c＞b,a＜b+c
∴a+b+c＞0,a+b-c＞0,a+c-b＞0,a-b-c＜0
∴(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(a-b-c)＜0
即（a²+b²-c²）²-4a²b²＜0
五、∵m²-5m+1=0
两边同除以m，得
m-5+1/m=0
∴m+1/m=5
(m+1/m)²=m²+2m×1/m+1/m²=5²=25
即m²+2+1/m²=25
∴m²+1/m²=23

Answer 2

三角形AEF和三角形CDF为相似三角形。理由如下：由于四边形ABCD为平行四边形，所以AB和CD为平行线，则角AEF和角FCD相等，角EAF和角CDF相等，角AFE和角CFD互为对顶角，也相等，。三个角都相等的三角形就是相似三角形。
 
同理：三角形CDF和三角型EBC也互为相似三角形，三角形BCE和三角形AFE也互为相似三角形

Answer 3

（1）线段PG与PC的位置关系是PG⊥PC；PG/PC=√3
（2）猜想：（1）中的结论没有发生变化
证明：如图，延长GP交AD于点H，连结CH，CG．
∵P是线段DF的中点，
∴FP=DP
由题意可知AD∥FG．
∴∠GFP=∠HDP
∵∠GPF=∠HPD
∴△GFP≌△HDP
∴GP=HP，GF=HD
∵四边形ABCD是菱形，
∴CD=CB，∠HDC=∠ABC=60°
由∠ABC=∠BEF=60°，且菱形BEFG的对角线BF恰好与菱形ABCD的边AB在同一条直线上，
可得∠GBC=60°．
∴∠HDC=∠GBC
∵四边形BEFG是菱形，
∴GF=GB
∴HD=GB
∴△HDC≌△GBC
∴CH=CG，∠DCH=∠BCG
∴∠DCH+∠HCB=∠BCH+∠HCB=120°
即∠HCG=120°
∵CH=CG，PH=PG
∴PG⊥PC，∠GCP=∠HCP=60°
∴PG/PC=√3

Answer 4

（1）证明：∵rt△abc中，∠bac＝90,ab＝ac，d为bc的中点
∴ad⊥bc
故△bad∽△bca
∴bd:ba=ba:bc
∴ba×=bd×bc
∵△dbg∽△ebc
∴bd:be=bg:bc
即：bd×bc=be×bg
∴ba×ba=bg×be
即：bg:ba=ba:be
∴△bag∽△bea
∠bga=∠bae=90
∴ag⊥be
（2）证明：连接de，e是ac中点，d是bc中点，
∴de//ba
，因为ba⊥ac，所以
de⊥ac
设ab=2a
ae=a
做ch⊥be交be的延长线于h（图可看上图）
∵∠aeg=∠ceh,∠age=∠che,ae=ec
∴△aeg≌△ceh(aas)
∴ch=ag
∠gae=∠hce
∵∠bae为直角
∴be=√5a
∴ae=ab*ae/be=(2/√5)a
∴ch=(2/√5)a
∵ag⊥be，∠fge=45
∴∠agf=45=∠ecb
∵∠dfe=∠gae+∠agf=∠hce+∠ecb;
∴∠dfe=∠bch
又∵de⊥ac
，ch⊥be
∴△def∽△bhc
∴ef:df=ch:bc=(2/√5)a:2√2a=1:√10=√10/10

Answer 5

(1)AD平行BC，∠PEF=∠EFB
由对折而知：∠PFE=∠EFB，PF=BF
∠PEF=∠PFE，PE=PF，
PE=BF。