Question

初二数学几何难题

正方形ABCD中AB=8，F是BC中点，在FC上取一点Q,连接AQ，与DF交于点P，并且使得角DAP=2角CDF,求CQ的长。

Answer 1

三角形EAF相似于三角形FDC，因为ABCD是平行四边形，所以AB//DC,E是延长线上一点，故AE//DC,角EAF等于角FDC，角AEF等于角FCD，因为角EFA和角DFC是对顶角，所以有三对角相等，所以三角形EAF相似于三角形FDC

Answer 2

因为AB平行CD
所以△AOB∽△DOC
若△AOB的面积为4，△DOC的面积为9
则有:DC:AB=3:2=BO:AO
即:△DOC的面积:△DOA的面积=3:2
△DOA的面积=4*1.5=6=△COB的面积
梯形ABCD的面积是=9+4+6+6=25

Answer 3

在三角形ABD中，E,P分别是AB和BD的中点，所以EP=1/2AD,同理PF=1/2BC,又因为AD=BC,所以PE=PF,则三角形PEF是以P为顶点的等腰三角形，角PEF=角PFE=18度，所以角PFE=18度

Answer 4

解：设AD与BF交点为M。
因为折叠，所以∠DBC=∠DBF。
又∠DBC=∠ADB，所以∠ADB=∠DBF，所以MB=MD。
设MB=x，
AM=AD-x=4-x。
△AMB中根据勾股定理得：
3^2+(4-x)^2=x^2,解得x=25/8。
所以△BMD面积=DM*AB/2=3*25/8/2=75/16。
阴影面积=△BDF面积-△BMD面积=3*4/2-75/16=21/16

Answer 5

(1)过点P作PO⊥BC,垂足为O.
依题意,得
AB=PR,又因为PO⊥BC,可证PO=AB
所以PO=PR
且∠POF=∠PRE,
又因为∠EPR+∠FPE=90
∠FPO+∠FPE=90
所以∠FPO=∠EPR
所以三角形POF≌三角形PRE
所以PF=PE
(2)AE^2+AB^2=BF^2
可证∠BFE=∠EFP,又因为AD//BC
所以∠BFE=∠PEF,所以∠EFP=∠PEF
所以PF=PE,又因为BF=PF,所以BF=PE
且AE=RE,AB=RP
且三角形ERP是直角三角形,
所以RE^2+RP^2=PE^2
所以AE^2+AB^2=BF^2