Question

证明不等式 当0<x<1时,√[(1-x)/(1+x)]<ln(1+x)/arctanx

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Answer 1

你好！

先证明 当x>0时，ln(1+x) / arctanx > 1/(1+x)
即(1+x)ln(1+x) > arctanx
令f(x) = (1+x)ln(1+x) - arctanx
f'(x) = ln(1+x) + 1 - 1/(1+x²) = ln(1+x) + x²/(1+x²) > 0
所以f(x)是增函数
f(x) > f(0) = 0
即 (1+x)ln(1+x) > arctanx
所以 ln(1+x) / arctanx > 1/(1+x)

下面证明 1/(1+x) > √[(1-x)/(1+x)]
即证 1/√(1+x) > √(1-x)
即 1 > √(1-x²)
因为 0<x<1
所以上式显然成立
所以 1/(1+x) > √[(1-x)/(1+x)]

综上，
当0<x<1时,√[(1-x)/(1+x)]<ln(1+x)/arctanx