Question

设n(N<150)是正整数,且n^3+23能被24整除,则这样的n有几个

Answer 1

n^3+23能被24整除就是说n^3+23是24的整倍数，因此n^3-1也是24的整倍数。而n^3-1=(n-1)*(n^2+n+1)=(n-1)*[n*(n+1)+1]
因为相邻两个正整数必为一奇一偶，所以乘积为偶数，所以上式[ ]内为奇数。又因为24=2*2*2*3
所以全部偶因子都包含在n-1中，所以n-1是8的整倍数。
由n*(n+1)+1是3的倍数，可知：n*(n+1)除以3的余数必须是2，因此需要n是3的倍数加1，即n-1是3的倍数。n+1是3的倍数加2，此时相乘才能是3的倍数加2。
综上分析可知n-1即是3的倍数又是8的倍数，因此n-1是24的倍数。所以你的取值为1,25,49,73,97,121,145。一共 7 个。

而n^2+n+1不管n取任何正整数，都是级数

Answer 2

a^3+23＝a^3-1+24
则a^3-1能被24整除
a^3-1=(a-1)(a^2+a+1)
a-1=24n (n 为整数） a=1,25,49,73,97,121,145。
因为f(a)=a^2+a+1与f(a)=a组合无解，a^2+a+1无满足条件的a值。

Answer 3

mod((n^3+23),24)=0 ->mod((n^3-1),24)=0
n^3-1=(n+1)(n^2-n+1)

因n^2-n+1恒为奇数，所以只能是3的整数倍
n+1是8的倍数 （150+1）/8=18...7
所以只有18个能整除24