Question

请教一道数学题：如图， 已知等边三角形ABC中，点D，E，F分别为边AB，AC，BC的中点，M为直线BC上一动点

如图， 已知等边三角形ABC中，点D，E，F分别为边AB，AC，BC的中点，M为直线BC上一动点，△DMN为等边三角形（点M的位置改变时， △DMN也随之整体移动） ．（1）如图①，当点M在点B左侧时，请你判断EN与MF有怎样的数量关系？点F是否在直线NE上？

Answer 1

（1）证明：连接DE，DF，EF．

∵△ABC是等边三角形，

∴AB=AC=BC．又∵DE，DF，EF为三角形的中位线．

∴DE=DF=EF，∠FDE=60°．又∠MDF+∠FDN=60°，∠NDE+∠FDN=60°，

∴∠MDF=∠NDE。又∵DM=DN，∴△DMF≌△DNE．∴MF=NE．

（2）画出图形（如答图）．MF与NE相等的结论仍然成立．

（3）点F在直线NE上．连接DF，NF，EF．由（1），

知DF=½AC=½AB=DB．又∠BDM+∠BDN=60°，∠NDF+∠BDN=60°，

∴∠BDM=∠NDF，又∵DM=DN，

∴△DBM≌△DFN∴∠DFN=∠DBM=120°．

又∵∠DFE=60°．∴∠NFE=∠DFN+∠DFE=180°．

可得点F在NE上．

Answer 2

：（1）判断：EN与MF相等（或EN=MF），点F在直线NE上，

（2）成立．
方法一：连接DE，DF．
∵△ABC是等边三角形，∴AB=AC=BC
又∵D，E，F是三边的中点，
∴DE，DF，EF为三角形的中位线、
∴DE=DF=EF，∠FDE=60°
又∠MDF+∠FDN=60°，∠NDE+∠FDN=60°，
∴∠MDF=∠NDE
在△DMF和△DNE中，DF=DE，DM=DN，∠MDF=∠NDE，
∴△DMF≌△DNE
∴MF=NE．
方法二：
延长EN，则EN过点F．
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC=BC
又∵D，E，F是三边的中点，
∴EF=DF=BF
∵∠BDM+∠MDF=60°，∠FDN+∠MDF=60°，
∴∠BDM=∠FDN
又∵DM=DN，∠ABM=∠DFN=60°，
∴△DBM≌△DFN
∴BM=FN
∵BF=EF，∴MF=EN．
方法三：
连接DF，NF
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC=AC
又∵D，E，F是三边的中点，
∴DF为三角形的中位线，
∴DF= 12AC= 12AB=DB
又∠BDM+∠MDF=60°，∠NDF+∠MDF=60°，
∴∠BDM=∠FDN
在△DBM和△DFN中，DF=DB，
DM=DN，∠BDM=∠NDF，
∴△DBM≌△DFN．
∴∠B=∠DFN=60°
又∵△DEF是△ABC各边中点所构成的三角形，
∴∠DFE=60°
∴可得点N在EF上，
∴MF=EN．

（3）如图③，MF与EN相等的结论仍然成立（或MF=NE成立）．