Question

已知定义在区间(0,+∞)上的函数f(x)满足f(x1/x2)=f(x1)-f(x2),且当x>1时f(x)<0

若f(3)=4，解不等式f(a^2+a-5)＜2

Answer 1

令x=1，得f(1)=f(1)-f(1)=0
令0<x<1，则1/x>1，得f(1/x)=f(1)-f(x)=-f(x)<0
所以当0<x<1时，f(x)>0
令x1>x2，得f(x1/x2)=f(x1)-f(x2)<0，所以f(x)在（1，+∞）上为减函数
令x1<x2，得f(x1/x2)=f(x1)-f(x2)>0，所以f(x)在（0,1）上为增函数
不是当x>1时f(x)<0吗？怎么f(3)=4>0?

追问

打错了。。。问题是若f(3)=-1,求f(x)在[2,9]上的最小值。

追答

令x10，所以f(x)在（0,1）上为减函数
综上所得，f(x)在(0,+∞)为减函数
则可知f(9)为函数f(x)在[2,9]的最小值
f(3)=f(9/3)=f(9)-f(3)
f(9)=f(3)+f(3)=-1+(-1)=-2
即最小值为-2

Answer 2

f(3)=4
f(3/√3)=f(3)-f(√3)
f(3)=2f(√3)
f(√3)=2
设x1＞x2
f(x1)-f(x2)=f(x1/x2）
∵x1＞x2 ∴x1/x2＞1
∵当x＞1时，f(x)＜0
∴f(x1)-f(x2）＜0
∴f(x)在区间(0,+∞)是减函数
所以a^2+a-5>0
a^2+a-5>√3
a^2+a-5-√3>0
a>{-1+√[1+4(5+√3)]}/2
a<{-1-√[1+4(5+√3)]}/2