Question

已知二次函数f（x）=ax^2+bx+c的图像经过点（-2,0）,且不等式2x大于等于f（x）小于等于（1/2）x^2+2对一

已知二次函数f（x）=ax^2+bx+c的图像经过点（-2,0）,且不等式2x大于等于f（x）小于等于（1/2）x^2+2对一切实数x都成立
（1）求f（2）的值
（2）求函数f（x）的表达式
（3）已知x属于[-1,1]，g（x）=x+m,存在x零属于[-1,1]，使得f（x1）=g（x零）恒成立，求实数m的取值范围

Answer 1

抄错题了，应该是 2x ≦ f(x) ≦ x²/2+2..........................①
（1）将x=2代入①，得 4 ≦ f(2) ≦ 4.
所以 f(2) = 4.
（2）由图像经过点（-2,0）得a(-2)²-2b+c=0，即 4a-2b+c=0……②
由 f(2) = 4 得 4a+2b+c=4…………………………………③
由②③解得 b=1, c=2-4a
因为2x ≦ f(x)恒成立，即 ax²+(b-2)x+c≧0恒成立,
即 ax²-x+2-4a≧0 恒成立
所以 a＞0 且 Δ=(-1)²-4a(2-4a)≦0 得 (4a-1)²≦0
所以，a=1/4, c=1
所以 f(x)=x²/4+x+1
（3）当x∈[-1,1]时,f(x)=x²/4+x+1=1/4·(x+2)² 单调增，所以f(x)∈[1/4,9/4],
当x∈[-1,1]时, g(x)=x+m单调增， g(x)∈[-1+m,1+m],
由题意，[1/4,9/4]∩[-1+m,1+m]≠Φ，
设 [1/4,9/4]∩[-1+m,1+m]=Φ，
则 1+m＜1/4 或 -1+m＞9/4
解得 m＜-3/4 或 m＞13/4

所以，m 的取值范围为 [-3/4,13/4]