Question

急谁会证明这个基本不等式2（a³+b³+c³）≥a²（b+c）+b²（a+c）+c²（a+b）

需要证明的过程！！！

Answer 1

a b c都是正数吧~

思路给你，证明倒过来就行了
先把不等式两边重新组合
(a³+b³)+(b³+c³)+(c³+a³)≥(a²b+ab²)+(b²c+bc²)+(c²a+ca²)
可以拆成3个不等式
a³+b³≥a²b+ab² b³+c³≥b²c+bc² c³+a³≥c²a+ca²
证明一个就行了 其他两个跟它一样
而 (a³+b³)-(a²b+ab²)
=(a+b)(a²-ab+b²) - ab(a+b)
=(a+b)(a²-2ab+b²)
=(a+b)(a-b)²
≥0

Answer 2

2（a³+b³+c³）- 【a²（b+c）+b²（a+c）+c²（a+b）】
=(a+b)(a²-ab+b²)+(a+c)(a²-ac+c²)+(b+c)(b²-bc+c²)-[ab(a+b)+ac(a+c)+bc(b+c) ]
=(a+b)(a²-2ab+b²)+(a+c)(a²-2ac+c²)+(b+c)(b²-2bc+c²)
=(a+b)(a-b)²+(a+c)(a-c)²+(b+c)(b-c)²
（大概缺了一个条件吧）a,b,c是正数，
所以上式大于0，所以
2（a³+b³+c³）≥a²（b+c）+b²（a+c）+c²（a+b）