Question

如图，在正方形ABCD中，点F为CD上一点，AF交BD于H，EH⊥AF交BC于E，连AE

（2）连EF，作∠EFC的平分线FG交AE的延长线于G，连CG，求证：CG=根号2倍的DF
（3）在（2）的条件下，若F是DC的中点，AB=4，直接写出EG的长
很急啊，大家帮帮忙

Answer 1

2、证明：将△ABE绕点A旋转，使AB与AD重合，旋转后点E的对应点为I，过点H作HP⊥BC于P，HQ⊥AB于Q，过点G作GK⊥CD交DC延长线于K

∵正方形ABCD

∴AD＝AB＝CD，∠BAD＝∠ADC＝90, ∠ABD＝∠CBD＝45

∵HP⊥BC，HQ⊥AB

∴正方形BPHQ

∴HP＝HQ，∠AQH＝∠BPH＝∠PHQ＝90

∴∠PHE+∠QHE＝90

∵EH⊥AF

∴∠AHE＝90

∴∠AHQ+∠QHE＝90

∴∠AHQ＝∠PHE

∴△AHQ≌△EHP  （AAS）

∴AH＝EH

∴∠EAF＝45

∴∠BAE+∠DAF＝∠BAD-∠EAF＝45

∵△ABE绕点A旋转至△ADI

∴∠DAI＝∠BAE，AI＝AE

∴∠FAI＝∠DAI+∠DAF＝∠BAE+∠DAF＝45

∴∠FAI＝∠EAF

∵AF＝AF

∴△AIF≌△AEF  （SAS）

∴∠AFI＝∠AFE＝∠DFE/2

∵FG平分∠EFC

∴∠EFG＝∠EFC/2

∴∠AEG＝∠AFE+∠EFG＝（∠DFE+∠EFC）/2＝90

∴∠GFC+∠AFD＝180-∠AFG＝90,AF＝GF

∵∠DAF+∠AFD＝180-∠ADC＝90

∴∠GFC＝∠DAF

∵GK⊥CD

∴△AFD≌△FGK  （AAS）

∴GK＝DF，FK＝AD

∴FK=CD

∵CD＝DF+CF，FK＝CK+CF

∴DF＝CK

∴CK＝GK＝DF

∴CG＝√2DF

 

3、EG＝2√10/3

 

 

 

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