Question

二次函数y=ax2+bx+c和y=cx2+bx+a的值域分别是M,N（ac≠0，a≠c）则集合M、N必定有：

A、M∈N
B、N∈M
C、M=N
D、M∩N≠∅

我知道答案是D（排除法），但是为什么D正确？
谢谢大神了！

Answer 1

当（a不=c）时，
经求解可得：两函数的最值分别是：
y1=(4ac-b^2)/(4a),
y2=(4ac-b^2)/(4c),
(a)当a>0,c>0;图像开口向上；
(1)a>c,
若（4ac-b^2）>0; (M包含N);
若（4ac-b^2）<0; (N包含M)
(2)a<c,
若（4ac-b^2）>0; (N包含M)
若（4ac-b^2）<0; (M包含N);
(b)当a<0,c<0; 图像开口向下；
(1)a>c,
若（4ac-b^2）>0; (N包含M)
若（4ac-b^2）<0; (M包含N);;
(2)a<c,
若（4ac-b^2）>0; (M包含N);
若（4ac-b^2）<0; (N包含M);

(c) 当a>0,c<0或a<0,c>0时；
M N 没有包含关系，
但是由于此时a,c正负相反，图像开口方向相反，而且y1=(4ac-b^2)/(4a),
y2=(4ac-b^2)/(4c),即，两个函数的极值正负相反，
所以此时的两个函数图像相互交叉，M与N有必有一定的重叠区域。

Answer 2

如果M.N有交集，则ax2+bx+c=cx2+bx+a，化为（a-c)x2+c-a=0
因为不是a>c就是c>a，所以（a-c)(c-a)<0，得b2-4ac=0-4(a-c)(c-a)>o
方程有实数解，则交集不是空集

追问

哇哦。。高级！

追答

呵呵····