Question

如图，在 △ABC中，AB=AC， ∠A=60度，BD⊥AC与点D，E为BC的中点，DF⊥DE，交BC的延长线于点F

求证：E,C两点是线段BF的三等分点

Answer 1

由题可知△ABC是等边三角形所以∠C=60度 又因为BD⊥AC所以△BDC是Rt△，因为E为BC的中点所以DE是Rt△BDC的中线所以DE=EC=BE 又因为∠C=60度所以△DEC是等边三角形所以∠DEC=60度 因为DF⊥DE所以∠EDF=90度所以∠DFE=30度 又 因为∠DCE=60度所以∠CDF=30度所以∠CDF=∠CFD所以DC=CF所以在Rt三角形DEF中C是EF的中点所以EC=FC=BE所以E,C两点是线段BF的三等分点

Answer 2

证明：因为 AB=AC 角A=60，
所以 三角形ABC是等边三角形 角C=60度
因为 BD垂直AC 三角形ABC是等边三角形
所以 D是AC的中点 又 E是BC的中点
所以 DE是是等边三角形ABC的中位线
所以 三角形DEC是等边三角形 角DEC=角ECD=60度 DE=DC=CE
所以 角DEB=角DCF=120度
三角形BCD中 角BDC=90度 角BCD=60度
所以 角DBC=30
又 在三角形BDE中 角DEB=120度
所以 角BDE=30度
所以 三角形BDE是等边三角形 BE=DE

在三角形FED中 角EDF=90 角DEF=60
所以 角DFC=30
又 角DCF=120
所以 角CDF=30
所以三角形CDF是等边三角形 CF=CD
因为DE=CE=CD
所以 BE=CE=CF
所以 E,C两点是线段BF的三等分点

Answer 3

因为角A=60度，AB=AC，所以BC=AC.而BD垂直AC，所以D为AC中点。因而DC=EC，而角ACB=60度，所以DE=DC，又因为DE垂直DF，所以∠BDE=∠FDC，而∠DEB=∠DCF，所以角边角全等，议案二BE=CF，所以E,C为等分点