Question

跪求这道数学题的答案

一个半径为2的小球放在桌面上，桌面上的一点A1的正上方有一个光源A，AA1与球相切，AA1=6，就在桌面上的投影是一个椭圆，则这个椭圆的离心率e等于多少？
求详解

Answer 1

如图是过圆锥的轴与椭圆长轴A1A2的截面，根据圆锥曲线的定义，
可得球与长轴A1A2的切点是椭圆的焦点F1，AA1⊥A1A2
设光线AA1与球相切于点E，AA2与球相切于点D，
且AF1等于内切圆的半径也即球的半径，即A1E=A1F1=2，又AA1=6，
根据切线长定理得：

A1E=A1F1=2，AE=AD=AA1-A1E=4，

设F1A2=x，由三角形面积公式得：

(AA1+A1A2+AA2)*r/2=AA1*A1A2 /2

∴(2+x+6+4+x)/2=×6×（2+x）
⇒x=6

∴A1A2=8

根据椭圆的几何性质，得长轴A1A2=2a=8，⇒a=4，

AF1是焦点到长轴顶点的距离AF1=a-c=2
∴c=2，

 

∴c/a=2/4=1/2

所以所求椭圆的离心率为1/2

Answer 2

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