Question

已知向量a=(sinθ,1),b=(1,cosθ),-π/2<θ<π/2

求|a+b|的最大值

注意 ！我知道其中有种方法是这个：.a+b=(1+sinθ，1+cosθ)
所以|a+b|²=(1+sinθ)²+(1+cosθ)²=3+2(sinθ+cosθ)=3+2√2sin(θ+π/4)
因为θ∈（-π/2,π/2)，所以θ+π/4∈（-π/4,3π/4)，所以|a+b|²的最大值为3+2√2=(√2+1)²
所以|a+b|的最大值为√2+1
我知道这个方法，可是我用另一种方法虽然麻烦些，但按理说是没错的，就是把（a+b）的平方展开，变成a方+2ab+b方 ，然后一步步来算最后结果不一样啊，愿高人按我这种方法给我解答，要详细过程谢谢！

Answer 1

|a+b|^2=a^2+2ab+b^2=sinθ^2+1+2(sinθ+cosθ)+cosθ^2+1=3+2√2sin(θ+π/4)
因为-π/2<θ<π/2
所以-π/4<θ+π/4<3π/4
所以最大值为3+2√2=(√2+1)²
所以|a+b|的最大值为√2+1
答案不是一样的吗？

追问

不是啊那个请问一下，你的第一个式子中2ab为什么可以直接化成2（sinθ+cosθ）啊？在线等回答谢谢！

追答

向量a*向量b在坐标中就是x1*x2+y1*y2
上式就是这样ab=sinθ*1+cosθ*1

追问

oh~我懂了你的说法，但是为什么不可以用a的长度×b的长度×a和b的夹角呢？a和b的夹角可以去设，为θ2，然后cosθ2的最大值不就是1了吗，最后算的是根号六啊？这是为什么呢？谢谢！请告诉我，我一定采纳你的回答^0^

追答

这个时候cosθ2的最大值不一定能取到1，因为向量a和向量b是有关系的都有θ
而且，a的长度×b的长度最大值你也不能把握，总之来说，你这是给自己找麻烦，以后看见坐标式的，就用我上面说的简单又快

Answer 2

(a+b)²=a²+2ab+b²
=|a|²+2|a||b|cosθ+|b|²
可以求出|a|,|b|,但是求不出a,b向量之间的夹角啊

追问

你可以设啊，设出一个夹角，然后最大值不是一吗，然后最后就可以解啊，最后我按我算的答案是根号六，怎么回事？

追答

我还是感觉此题只有那一种方法，因为这两条向量不可能夹角为0°，所以cosθ未知值
何况|a|=√1²+sin²θ，|b|=√cos²θ+1²，他俩相乘也解不开啊

要不就是(a+b)²=a²+2ab+b²
=|a|²+2ab+|b|²
=1+sinθ^2+2(sinθ+cosθ)+cosθ^2+1=3+2√2sin(θ+π/4)

定理
设a=(x1,y1),b=(x2,y2),ab=x1x2+y1y2