Question

如果函数y=sin2x+acos2x的图像关于直线x=-π/8对称,则a的值为,一个对称中心为

希望有详细点的过程。谢谢

Answer 1

sin2x+acos2x？
应该是sin(2x)+acos(2x)吧？

解：
已知：函数y=sin2x+acos2x的图像关于x=-π/8对称，
所以：依据对称的定义，有：
sin[2(-π/8+x)]+acos[2(-π/8+x)]=sin[2(-π/8-x)]+acos[2(-π/8-x)]
sin(-π/4+2x)+acos(-π/4+2x)=sin(-π/4-2x)+acos(-π/4-2x)
sin(2x-π/4)+acos(2x-π/4)=-sin(π/4+2x)+acos(π/4+2x)
sin(2x)cos(π/4)-cos(2x)sin(π/4)+a[cos(2x)cos(π/4)+sin(2x)sin(π/4)]=
=-sin(2x)cos(π/4)-cos(2x)sin(π/4)+a[cos(2x)cos(π/4)-sin(2x)sin(π/4)]
sin(2x)(√2/2)-cos(2x)(√2/2)+a[cos(2x)(√2/2)+sin(2x)(√2/2)]=
=-sin(2x)(√2/2)-cos(2x)(√2/2)+a[cos(2x)(√2/2)-sin(2x)(√2/2)]
sin(2x)-cos(2x)+acos(2x)+asin(2x)=-sin(2x)-cos(2x)+acos(2x)-asin(2x)
2sin(2x)+2asin(2x)=0
sin(2x)+asin(2x)=0
解得：a=-1

Answer 2

根据辅助角公式
√1+a^2sin(2x+arctana)
因为一个对称轴为-π/8
带进去，y=√1+a^2sin(2x+arctana)取最大值√1+a^2
再代入原式y=sin-π/4+acos-π/4=-√2/2+a√2/2
将两个值取等
两边平方，解方程得到a=-1
y=sin2x-cos2x=√2sin（2x-π/4)
一个对称中心为（5π/8,0)

Answer 3

根据辅助角公式
√1+a^2sin(2x+arctana)
因为一个对称轴为-π/8
带进去，y=√1+a^2sin(2x+arctana)取最大值√1+a^2
再代入原式y=sin-π/4+acos-π/4=-√2/2+a√2/2
将两个值取等
两边平方，解方程得到a=-1
y=sin2x-cos2x=√2sin（2x-π/4)
一个对称中心为（5π/8,0)

Answer 4

函数关于x=-π/8对称，所以
当x=-π/8时，y取最大值或最小值。
而y可化为
y=√(1+a²)·sin(2x+φ)，其中tanφ=a
当sin(2x+φ)=±1时，y有最大值或最小值，
于是 2x+φ=kπ+π/2，
将x=-π/8代入，得
φ=kπ+π/4
从而 a=tanφ=1