Question

如图所示，BC是⊙O的直径，AD⊥BC，垂足为D，弧BA=弧AF，BF与AD交于E。

如图所示，BC是⊙O的直径，AD⊥BC，垂足为D，弧BA=弧AF，BF与AD交于E。
（1）：求证，AE=BE
（2）：若，把半圆三等分，BC=12，求AE得长

Answer 1

1、证明：连接AC
∵直径BC
∴∠BAC＝90
∴∠ABC+∠ACB＝90
∵AD⊥BC
∴∠ABC+∠BAD＝90
∴∠BAD＝∠ACB
∵∠AFB＝∠ACB
∴∠BAD＝∠AFB
∵弧BA＝弧AF
∴∠ABF＝∠AFB
∴∠ABF＝∠BAD
∴AE＝BE
2、解：
∵A、F三等分半圆
∴∠ACB＝30，∠CBF＝30
∴AB＝BC/2＝12/2＝6
∵∠BAD＝∠ACB＝30
∴BD＝AB/2＝6/2＝3, AD＝AB×√3/2＝6×√3/2＝3√3
∴DE＝BD/√3＝3/√3＝√3
∴AE＝AD-DE＝2√3

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Answer 2

连接AC,AO因为
弧BA=弧AF
,所以
角ABF=角AFB又
角AFB=角ACB
（圆周角）易证
角BAD=角ACB所以
三角形ABE
相似
三角形ACO所以
AB/AC=AE/OC
(*)因为
三角形ABC是直角三角形,AD垂直斜边所以
AB^2=BD*BC,AB/AC=BD/AD所以
BD/AD=AE/OC
==>
BD*OC=AD*AE所以
AB^2=BD*BC=2*BD*OC=2AD*AE(3)若A,F是半圆的三等分点,那么
角ACB=30度所以
AB=BC/2=6,AC=6√3由
(*)式得
AE=AB*OC/AC=6*6/6√3=2√3