Question

高等数学有关函数连续的问题

设函数f(x)对于区间[a,b]上的任意两点x,y，恒有|f(x)-f(y)|≤L|x-y|，其中L为正常数，且f(a)*f(b)<0。证明：至少有一点ε∈(a,b)，使得f(ε)=0。提示：证明f(x)在[a,b]上连续

Answer 1

|f(x)-f(y)|≤L|x-y| 就是说李氏连续啊，f(x)在[a,b]上连续，再用介值定理即可。

追问

不懂，能不能详细点？？？

追答

你这么写
|f(x)-f(y)|≤L|x-y|
∴李氏连续
f(x)在[a,b]上连续

由连续函数的介值定理
得到原命题成立
证毕

介值定理见
http://baike.baidu.com/view/632063.htm

Answer 2

　　对每一 x0 ∈ [a,b]，对任意ε > 0，取δ = ε/L > 0，则任给 x ∈ [a,b]：|x - x0| < δ，由假设，有
　　　　|f(x) - f(x0)| ≤ L|x - x0| < Lδ = ε，
据连续的定义，可知f(x) 在 [a,b] 上连续。
　　其次，由条件f(a)*f(b) < 0，利用闭区间上连续函数的介值定理，即知至少有一点 ξ ∈ (a,b)，使得
　　　　f(ξ) = 0。