Question

关于函数的零点的问题

已知函数f(x)有9个零点x1,x2,……,x9，且 已知函数f(x)满足f(3+x)=f(3-x)，则x1+x2+…x9=_________.（详细解答）

Answer 1

由题意f(3+x)=f(3-x)，知f（x）关于直线x=3对称
由对称性知：x1+x9=x2+x8=x3+x7=x4+x6=2x5=2×3=6，x5=3
故：x1+x2+…x9=（x1+x9）+（x2+x8）+（x3+x7）+（x4+x6）+x5=4×6+3=27
所以填27
【友情提示：对于一道填空题可以举一中特殊例子，能得到答案就ok了！】

追问

可是你怎么知道x5=3，x1+x9=6呢？

追答

对称性啊，对于有对称轴的函数
如果有偶数个零点，一定分别关于对称轴对称且对称轴两侧的零点个数相同
如果有奇数个零点，则中间的那个零点一定在对称轴处取得
在本题目中，x1,x2,……,x9默认是从左到右排列的零点，则x5就是中间的零点
至于x1+x9=6，是因为x1,x9关于x=3对称，容易证明(x1+x9)/2=3

Answer 2

这种题目先去求定义域是x>0
然后求导
f”(x)=1/x+1/x²
对于x>0有f“(x)>0恒成立。
所以函数是单调递增的，又因为f(1)=-1
。所以函数与x轴是有交点的
所以零点个数有且只有一个。

Answer 3

f(x)=lnx-1/x的定义域是x>0,f'(x)=1/x+1/(x^2)=(x+1)/(x^2)在整个定义域上恒大于0，故f(x)=lnx-1/x在定义域上是单调递增的。x=1/e时，f(x)=-1-e<0,而x=e时，f(x)=1-1/e>0,故函数只能在1/e与e之间有唯一零点.