Question

直线l过点P(2,1),且分别交x轴、y轴的正半轴于点ABO为坐标原点

直线l过点P(2,1),且分别交x轴、y轴的正半轴于点A、B，O为坐标原点
（1）当△AOB的面积最小时，求直线l的方程 答案：x+2y-4=0
（2）当|PA|·|PB|取最小值时，求直线l的方程 答案：x+y-3=0

Answer 1

(1) 设直线为：x/a + y/b = 1，(a,b>0)，
过(2,1)点即得： 2/a + 1/b =1，(a,b>0)
运用平均值不等式： 1= 2/a + 1/b ≥ 2√(2/ab)， 解得：ab≥8，等号成立时 a=4，b=2，
S= 1/2 * ab，S取最小值为4，此时 a=4,b=2， 所以得到 x+2y-4=0
(2) 设倾斜角为α，(90º<α<180º)，由坐标图，
可得：|PA|=1/sin(180º-α)=1/sinα，|PB|=2/cos(180º-α)=-2/cosα，
所以|PA|*|PB|= -2/(sinαcosα) = -4/sin2α，
当α=135º 时，|PA|*|PB|取最小值为：-4/(-1)=4，
此时 k= -1，得 x+y-3=0

Answer 2

⑴∵该直线经过p（2，1）
设直线方程为y-1=k（x-2） （k＜0）
分别令x=0，y=0得
y=1-2k，x=（2k-1）/k
∴A（（2k-1）/k，0），B（0，1-2k）
∴SΔAOB=1/2｜OA｜*｜OB｜=1/2（（-4k-1）/k+4）
∵k＜0
∴-4k＞0，-1/k＞0
当-4k=-1/k时，k=-1/2
∴SΔAOBmin=1/2[-4k-(1/k)+4]≥1/2(2X2+4)=4
∴直线l的方程为x+2y-4=0
⑵设直线l方程为y-1=k（x-2） （k＜0）
A（（2k-1）/k，0），B（0，1-2k）
则｜PA｜*｜PB｜=√（4+4k）∧2*（1+1/k∧2）≥4
当k∧2=1时，k=±1
∵k＜0
∴k=-1
∴直线l的方程为x+y-3=0