Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，AD⊥PD，BC=1，PC=2（根号3），PD=CD=2.

（1）求异面直线PA与BC所成角的正切值；（2）证明：平面PDC⊥平面ABCD；（3）求直线PB与平面ABCD所成角的正弦值．

Answer 1

1. 由于ABCD是矩形，AD//BC AD=BC=1

   PA与BC所成角=角PAD

   tanPAD=PD/AD=2/1=2

2. 已知AD⊥PD 及ABCD是矩形

   所以AD⊥DC

   又PD、DC分别为平面PDC上的直线，AD为平面ABCD上的直线

   一个平面内的两条直线与另一平面内的一条直线垂直，这两平面垂直

   所以平面PDC与平面ABCD垂直

3. 作过P点垂直于平面ABCD的直线 交点为Z

   则Z点在平面PDC CD延长线上

   三角形PZC 与三角形PDC在同一平面

   在三角形PDC PD=CD=2 PC=2根号3

   可知角PCD=角CPD=30度 

   PZ=PC*sin角PCD=根号3

   直角三角形PBC中可知PB=根号13

   直线PB与平面ABCD所成角的正弦值=PZ/PB=根号(3/13)