Question

关于圆的高中数学题

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已知圆C方程为(x-m)²+（y+m-4）²=2
（1） 求圆心C的轨迹方程
（2） 当OC的绝对值最小时，求圆C的一般方程（O为坐标原点）

P53 13
已知x,y是实数，且x²+y²-4x-6y+12=0，求：
（1） x²+y²的最值
（2） x-y的最值

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已知圆C1：x²+y²+2x-6y+1=0,圆C2：x²+y²-4x+2y-11=0，求两圆的公共弦所在直线方程及公共弦长。

Answer 1

1、C(m,4-m)
所以 圆心C的轨迹方程为y=4-x
2、OC^2=m^2+(4-m)^2
      =2m^2-8m+16
      =2(m^2-4m+8)
      =2(m-2)^2+8
   所以m=2时 OC最小
所以圆C的一般方程为（x-2)^2+(y-2)^2=2

4简洁的方法。。

c1：x2+y2-4x+2y=11
c2:x2+y2+2x-6y=-1
c1-c2得：-6x+8y=12
               
化简得：y=3/2+3/4x

追问

公共弦长呢，怎么求？

追答

不是给你时写了吗，不明白吗

追问

在哪里？最后一题把两圆的方程相减得出的公共弦长所在直线方程，可是公共弦长怎么求？前面的都看懂了，你的方法和老师讲的一样，谢谢

Answer 2

1、C(m,4-m)
所以 圆心C的轨迹方程为y=4-x
2、OC^2=m^2+(4-m)^2
=2m^2-8m+16
=2(m^2-4m+8)
=2(m-2)^2+8
所以m=2时 OC最小
所以圆C的一般方程为（x-2)^2+(y-2)^2=2
3.原方程为圆心在(2,3),半径为1的圆,其参数方程为x=2+cosQ,
y=3+sinQ,
x/y=(2+cosQ)/(3+sinQ)
经观察,当Q=0时,分子达到最大3,分母达到最小3,从而(x/y)max=1
x^2+y^2=(2+cosQ)^2+(3+sinQ)^2
=4+4cosQ+9+6sinQ+1=14+2(2cosQ+3sinQ)
=14+2√13sin(Q+arctan2/3)
因为sin(Q+arctan2/3)最大为1，
所以，（x^2+y^2）max=14+2√13
x=2+cosQ，Xmax=2+1=3
4 方法一：
c1:x2+y2-4x+2y-11=0可化简为：（x-2）2+（y+1）2=16
则c1:圆心：c1（2,-1） 半径：r1=4
c2:圆心：c1(-1,3)
半径：r2=3
两个圆的公共弦必经过c1和c2的连线且垂直与直线c1c2
先求c1c2的直线的方程，设c1c2的直线方程为：y=k1x+b1
将c1和c2的坐标带入直线c1c2的方程，解方程组：3=-k1+b1
-1=2k1+b1
解得：k1=-4/3
b=5/3
所以直线c1c2的方程式为：y=-4/3x+5/3
下面再求公共弦的直线方程，设公共弦的直线方程为：y=k2x+b2
因为公共弦方程与c1c2垂直，所以k1k2=-1，解得：k2=4/3
公共弦必过c1c2上的点（2/25,39/25）(在直角坐标系中画出两个圆和其公共弦便可求得此点)，将其带入公共弦方程39/25=2/25*3/4+b2
解得：b2=3/2
s所以公共弦的方程为：y=3/4x+3/2

方法二：
将两圆的方程相减，并化简：
c1：x2+y2-4x+2y=11
c2:x2+y2+2x-6y=-1
c1-c2得：-6x+8y=12

化简得：y=3/2+3/4x

追问

参数方程是什么？那里看不懂。。。

追答

在给定的平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x，y都是某个变数t的函数x=f(t),y=φ(t)，(1)且对于t的每一个允许值，由方程组(1)所确定的点m(x，y)都在这条曲线上，那么方程组(1)称为这条曲线的参数方程，联系x、y之间关系的变数称为参变数，简称参数。类似地，也有曲线的极坐标参数方程ρ=f(t),θ=g(t)。(2)
圆的参数方程 x=a+r cosθ y=b+r sinθ (a,b)为圆心坐标 r为圆半径 θ为参数
椭圆的参数方程 x=a cosθ y=b sinθ a为长半轴 长 b为短半轴长 θ为参数
双曲线的参数方程 x=a secθ (正割) y=b tanθ a为实半轴长 b为虚半轴长 θ为参数
抛物线的参数方程 x=2pt^2 y=2pt p表示焦点到准线的距离 t为参数
直线的参数方程 x=x'+tcosa y=y'+tsina , x', y'和a表示直线经过(x',y'),且倾斜角为a,t为参数.

追问

抱歉，我们老师好像没讲这个，我还是有点晕，太深奥了。。。

追答

楼下也可以的

Answer 3

x^2+y^2+6x+8=0
(x+3)^2+y^2=1
圆心O1(-3,0),半径=1
x^2+y^2-6x-72=0
(x-3)^2+y^2=81
圆心O2(3,0),半径=9
设动圆圆心M(x,y),半径为r
MO1=r+1
MO2=9-r
即MO1+MO2=10.
即圆心M到O1,O2的距离之和是10,故轨迹是椭圆.
2a=10,a=5
c=3,c^2=a^2-b^2
则,b^2=16
即方程是:x^2/25+y^2/16=1.