Question

已知函数f(x)=sin(wx+φ)的图象与直线y=b(-1<b<0)三个相邻交点的横坐标分别是1,2,4

已知函数f(x)=sin(wx+φ)的图象与直线y=b(-1<b<0)三个相邻交点的横坐标分别是1,2,4。
（1）求f（x)的解析式，并写出f（x）的单调递减区间

（2）设g（x)=f（2x）+f（x），求函数g( x)的值域

Answer 1

如草图

显然，f(x)的最小正周期为T=3

所以，2π/ω=3

所以，ω=2π/3

假设φ∈(0,π/2)【这个条件题目应该给出，不然没有唯一答案！！！】

且当x=3/2时，f(x)有最小值=-1

所以，(2π/3)*(3/2)+φ=2kπ-(π/2)（k∈Z）

===> π+φ=3π/2

===> φ=π/2

所以，f(x)=sin[(2π/3)x+(π/2)]

递减区间就是：(2π/3)x+(π/2)∈[2kπ+(π/2),2kπ+(3π/2)]

===> (2π/3)x∈[2kπ,2kπ+π]

===> x∈[3k,3k+(3/2)]（k∈Z）

g(x)=f(2x)+f(x)

=sin[(4π/3)x+(π/2)]+sin[(2π/3)x+(π/2)]

=cos[(4π/3)x]+cos[(2π/3)x]

令(2π/3)x=t

则，g(t)=cos2t+cost

=(2cos^2 t-1)+cost

=2cos^2 t+cost-1

=2[cos^2 t+(1/2)cost+(1/16)]-(9/8)

=2[cost+(1/4)]^2-(9/8)

因为cost∈[-1,1]

所以，g(t)有最小值-9/8

当cost=1时，g(t)=2*(25/16)-(9/8)=2

所以，g(x)∈[-9/8,2]

Answer 2

由三个相邻横坐标可知f(x)周期T=3.
T=2π/ω
所以 ω=2π/3
又|sin(π+φ)|=1 由0≤φ≤π
所以ψ=π/2
所以f（x)=sin（2π/3x+π/2）=cos（2π/3x）
单调递减区间[3k,3k+3/2]

g（x）=f（2x）+f（x）
=cos4π/3x+cos2π/3x
=2cos^2(2π/3x)+cos(2π/3x)-1
cos(2π/3x)∈[-1,1]
当cos(2π/3x)∈[-1,-1/4]时函数为减函数，[-1/4,1]时为增函数。
当cos（2π/3x）=-1/4时函数最小值-4/5.
当cos（2π/3x）=-1时函数值为0，当cos（2π/3x）=1时函数值为2.
所以函数值域[-4/5,2]

追问

很明显周期是3.复制的答案请不要发上来，谢谢！

Answer 3

把周期T=6换成3就行啦