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1、已知关于x的一元一次方程a * x（2）+bx+c=0（a不等于0）的两根之比为 2 比 1，求证：2*b（2）=9ac 【提示：一元一次方程的根与系数的关系】 a（2）为a的平方。 2、已知X1，X2 是关于x的方程 x（2）+mx+n=0 的两根，X1+1，X2+1是关于x 的方程x（2）+nx+m=0的两根，求m，n 的值。3、已知a.b是一元一次方程x^2 -3x-1=0的两实根，求2a 4、已知A、B是一元一次方程x*x+5x-11的两不相等的实根，求5A
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你可以挑你认为有用的做，答案在后面。一元二次方程根与系数关系专项训练
1、如果方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根是x1、x2，那么x1+x2= ，x1�6�1x2= 。
2、已知x1、x2是方程2x2+3x－4=0的两个根，那么：x1+x2= ；x1�6�1x2= ； ；x21+x22= ；(x1+1)(x2+1)= ；｜x1－x2｜= 。
3、以2和3为根的一元二次方程(二次项系数为1)是 。
4、如果关于x的一元二次方程x2+ x+a=0的一个根是1－ ，那么另一个根是 ，a的值为 。
5、如果关于x的方程x2+6x+k=0的两根差为2，那么k= 。
6、已知方程2x2+mx－4=0两根的绝对值相等，则m= 。
7、一元二次方程px2+qx+r=0(p≠0)的两根为0和－1，则q∶p= 。
8、已知方程x2－mx+2=0的两根互为相反数，则m= 。
9、已知关于x的一元二次方程(a2－1)x2－(a+1)x+1=0两根互为倒数，则a= 。
10、已知关于x的一元二次方程mx2－4x－6=0的两根为x1和x2，且x1+x2=－2，则m= ，(x1+x2) = 。
11、已知方程3x2+x－1=0，要使方程两根的平方和为 ，那么常数项应改为 。
12、已知一元二次方程的两根之和为5，两根之积为6，则这个方程为 。
13、若α、β为实数且｜α+β－3｜+(2－αβ)2=0，则以α、β为根的一元二次方程为 。(其中二次项系数为1)
14、已知关于x的一元二次方程x2－2(m－1)x+m2=0。若方程的两根互为倒数，则m= ；若方程两根之和与两根积互为相反数，则m= 。
15、已知方程x2+4x－2m=0的一个根α比另一个根β小4，则α= ；β= ；m= 。
16、已知关于x的方程x2－3x+k=0的两根立方和为0，则k=
17、已知关于x的方程x2－3mx+2(m－1)=0的两根为x1、x2，且 ，则m= 。
18、关于x的方程2x2－3x+m=0，当 时，方程有两个正数根；当m 时，方程有一个正根，一个负根；当m 时，方程有一个根为0。
19、若方程x2－4x+m=0与x2－x－2m=0有一个根相同，则m= 。
20、求作一个方程，使它的两根分别是方程x2+3x－2=0两根的二倍，则所求的方程为 。
21、一元二次方程2x2－3x+1=0的两根与x2－3x+2=0的两根之间的关系是 。
22、已知方程5x2+mx－10=0的一根是－5，求方程的另一根及m的值。
23、已知2+ 是x2－4x+k=0的一根，求另一根和k的值。
24、证明：如果有理系数方程x2+px+q=0有一个根是形如A+ 的无理数(A、B均为有理数)，
那么另一个根必是A－ 。
25、不解方程，判断下列方程根的符号，如果两根异号，试确定是正根还是负根的绝对值大?
26、已知x1和x2是方程2x2－3x－1=0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值：
x31x2+x1x32
27、已知x1和x2是方程2x2－3x－1=0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值：
28、已知x1和x2是方程2x2－3x－1=0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值：
(x21－x22)2
29、已知x1和x2是方程2x2－3x－1=0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值：
x1－x2
30、已知x1和x2是方程2x2－3x－1=0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值：
31、已知x1和x2是方程2x2－3x－1=0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值：
x51�6�1x22+x21�6�1x52
32、求一个一元二次方程，使它的两个根是2+ 和2－ 。
33、已知两数的和等于6，这两数的积是4，求这两数。
34、造一个方程，使它的根是方程3x2－7x+2=0的根；(1)大3；(2)2倍；(3)相反数；(4)倒数。
35、方程x2+3x+m=0中的m是什么数值时，方程的两个实数根满足：(1)一个根比另一个根大2；(2)一个根是另一个根的3倍；(3)两根差的平方是17。
36、已知关于x的方程2x2－(m－1)x+m+1=0的两根满足关系式x1－x2=1，求m的值及两个根。
37、α、β是关于x的方程4x2－4mx+m2+4m=0的两个实根，并且满足 ，求m的值。
38、已知一元二次方程8x2－(2m+1)x+m－7=0，根据下列条件，分别求出m的值：
(1)两根互为倒数；
(2)两根互为相反数；
(3)有一根为零；
(4)有一根为1；
(5)两根的平方和为 。
39、已知方程x2+mx+4=0和x2－(m－2)x－16=0有一个相同的根，求m的值及这个相同的根。
40、已知关于x的二次方程x2－2(a－2)x+a2－5=0有实数根，且两根之积等于两根之和的2倍，
求a的值。
41、已知方程x2+bx+c=0有两个不相等的正实根，两根之差等于3，两根的平方和等于29，求b、c的值。
42、设：3a2－6a－11=0，3b2－6b－11=0且a≠b，求a4－b4的值。
43、试确定使x2+(a－b)x+a=0的根同时为整数的整数a的值。
44、已知一元二次方程(2k－3)x2+4kx+2k－5=0，且4k+1是腰长为7的等腰三角形的底边长，求
当k取何整数时，方程有两个整数根。
45、已知：α、β是关于x的方程x2+(m－2)x+1=0的两根，求(1+mα+α2)(1+mβ+β2)的值。
46、已知x1,x2是关于x的方程x2+px+q=0的两根，x1+1、x2+1是关于x的方程x2+qx+p=0的两根，求常数p、q的值。，
47、已知x1、x2是关于x的方程x2+m2x+n=0的两个实数根；y1、y2是关于y的方程y2+5my+7=0的两个实数根，且x1－y1=2,x2－y2=2，求m、n的值。
48、关于x的方程m2x2+(2m+3)x+1=0有两个乘积为1的实根，x2+2(a+m)x+2a－m2+6m－4=0有大于0且小于2的根。求a的整数值。
49、关于x的一元二次方程3x2－(4m2－1)x+m(m+2)=0的两实根之和等于两个实根的倒数和，求m的值。
50、已知：α、β是关于x的二次方程：(m－2)x2+2(m－4)x+m－4=0的两个不等实根。
(1)若m为正整数时，求此方程两个实根的平方和的值；
(2)若α2+β2=6时，求m的值。
51、已知关于x的方程mx2－nx+2=0两根相等，方程x2－4mx+3n=0的一个根是另一个根的3倍。
求证：方程x2－(k+n)x+(k－m)=0一定有实数根。
52、关于x的方程 =0，其中m、n分别是一个等腰三角形的腰长和底边长。
(1)求证：这个方程有两个不相等的实根；
(2)若方程两实根之差的绝对值是8，等腰三角形的面积是12，求这个三角形的周长。
53、已知关于x的一元二次方程x2+2x+p2=0有两个实根x1和x2(x1≠x2)，在数轴上，
表示x2的点在表示x1的点的右边，且相距p+1，求p的值。
54、已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的两根为α、β，且两个关于x的方程x2+(α+1)x+β2=0与x2+(β+1)x+α2=0有唯一的公共根，求a、b、c的关系式。
55、如果关于x的实系数一元二次方程x2+2(m+3)x+m2+3=0有两个实数根α、β，那么(α－1)2+(β－1)2的最小值是多少?
56、已知方程2x2－5mx+3n=0的两根之比为2∶3，方程x2－2nx+8m=0的两根相等(mn≠0)。求
证：对任意实数k，方程mx2+(n+k－1)x+k+1=0恒有实数根。
57、(1)方程x2－3x+m=0的一个根是 ，则另一个根是 。
(2)若关于y的方程y2－my+n=0的两个根中只有一个根为0，那么m，n应满足 。
58、不解方程,求下列各方程的两根之和与两根之积
x2+3x+1=0；
59、不解方程,求下列各方程的两根之和与两根之积
3x2－2x－1=0；
60、不解方程,求下列各方程的两根之和与两根之积
－2x2+3=0；
61、不解方程,求下列各方程的两根之和与两根之积
2x2+5x=0。
62、已知关于x的方程2x2+5x=m的一个根是－2，求它的另一个根及m的值。
63、已知关于x的方程3x2－1=tx的一个根是－2，求它的另一个根及t的值。
64、设x1，x2是方程3x2－2x－2=0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值：
(1)(x1－4)(x2－4)；
(2)x13x24+x14x23；
(3) ；
(4)x13+x23。
65、设x1，x2是方程2x2－4x+1=0的两个根，求｜x1－x2｜的值。
66、已知方程x2+mx+12=0的两实根是x1和x2，方程x2－mx+n=0的两实根是x1+7和x2+7， 求m和n的值。
67、以2，－3为根的一元二次方程是 ( )
A.x2+x+6=0 B.x2+x－6=0
C.x2－x+6=0 D.x2－x－6=0
68、以3，－1为根，且二次项系数为3的一元二次方程是 ( )
A.3x2－2x+3=0 B.3x2+2x－3=0
C.3x2－6x－9=0 D.3x2+6x－9=0
69、两个实数根的和为2的一元二次方程可能是 ( )
A.x2+2x－3=0 B.x2－2x+3=0
C.x2+2x+3=0 D.x2－2x－3=0
70、以－3，－2为根的一元二次方程为 ，
以 ， 为根的一元二次方程为 ，
以5，－5为根的一元二次方程为 ，
以4， 为根的一元二次方程为 。
71、已知两数之和为－7，两数之积为12，求这两个数。
72、已知方程2x2－3x－3=0的两个根分别为a，b，利用根与系数的关系，求一个一元二次方程 ，使它的两个根分别是：
(1)a+1.b+1
(2)
73、一个直角三角形的两条直角边长的和为6cm，面积为 cm2，求这个直角三角形斜边的长 。
74、在解方程x2+px+q=0时，小张看错了p，解得方程的根为1与－3；小王看错了q，解得方程的根为4与－2。这个方程的根应该是什么?
75、关于x的方程x2－ax－3=0有一个根是1，则a= ，另一个根是 。
76、若分式 的值为0，则x的值为 ( )
A.－1 B.3 C.－1或3 D.－3或1
77、若关于y的一元二次方程y2+my+n=0的两个实数根互为相反数，则 ( )
A.m=0且n≥0 B.n=0且m≥0C.m=0且n≤0 D.n=0且m≤0
78、已知x1，x2是方程2x2+3x－1=0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值：
(1)(2x1－3)(2x2－3)；
(2)x13x2+x1x23。
79、已知a2=1－a，b2=1－b，且a≠b，求(a－1)(b－1)的值。
80、如果x=1是方程2x2－3mx+1=0的一个根，则m= ，另一个根为 。
81、已知m2+m－4=0， ，m，n为实数，且 ，则 = 。
82、两根为3和－5的一元二次方程是 ( )
A.x2－2x－15=0 B.x2－2x+15=0
C.x2+2x－15=0 D.x2+2x+15=0
83、.设x1，x2是方程2x2－2x－1=0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值：
(1)(x12+2)(x22+2)；
(2)(2x1+1)(2x2+1)；
(3)(x1－x2)2。
84、.已知m，n是一元二次方程x2－2x－5=0的两个实数根，求2m2+3n2+2m的值。
85、已知方程x2+5x－7=0，不解方程，求作一个一元二次方程，使它的两个根分别是已知方 程的两个根的负倒数。
86、已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根之比为2∶1，求证：2b2=9ac。
87、.已知关于x的一元二次方程x2+mx+12=0的两根之差为11，求m的值。
88、已知关于y的方程y2－2ay－2a－4=0。(1)证明：不论a取何值，这个方程总有两个不相等的 实数根；(2)a为何值时，方程的两根之差的平方等于16?
89、已知一元二次方程x2－10x+21+a=0。(1)当a为何值时，方程有一正、一负两个根?(2)此 方程会有两个负根吗?为什么?
90、已知关于x的方程x2－(2a－1)x+4(a－1)=0的两个根是斜边长为5的直角三角形的两条直角边的长，求这个直角三角形的面积。
91、已知方程x2+ax+b=0的两根为x1，x2，且4x1+x2=0，又知根的判别式 =25，求a，b 的值。
92、已知一元二次方程8y2－(m+1)y+m－5=0。(1)m为何值时，方程的一个根为零?(2)m为何值时 ，方程的两个根互为相反数?(3)证明：不存在实数m，使方程的两个相互为倒数。
93、当m为何值时，方程3x2+2x+m－8=0：(1)有两个大于－2的根?(2)有一个根大于－2，另一个 根小于－2?
94、已知2s2+4s－7=0，7t2－4t－2=0，s，t为实数，且st≠1。求下列各式的值：
(1) ；;
(2) 。
95、已知x1，x2是一元二次方程x2+ x+n=0的两个实数根，且x12+x22+(x1+x2)2=3， ，求m和n的值。
一元二次方程根与系数关系专项训练答案
1、 ；
2、 ；－2； ； ； ；
3、x2－5x+6=0
4、－1； －1
5、8
6、0
7、1
8、0
9、
10、－2；－8
11、－2
12、x2－5x+6=0
13、x2－3x+2=0
14、－1；－1－
15、－4；0；0
16、3
17、
18、
19、0或3
20、y2+6y－8=0
21、互为倒数
22、另一根为 ，m=23
23、另一根为2－ ，k=1
24、证明：∵A+ 是方程x2+px+q=0的根
∴(A+ )2+p(A+ )+q=0
即A2+B+pA+q=－(2A+p)
由于等式左边是有理数，而右边是无理数所以满足以下条件时，等式才成立：
∴p=－2A
设方程两根为x1、x2，
∴x1+x2=2A，又x2=A+
x2=2A－(A+ )=A－
25、(1)两根异号，正根绝对值大 (2)两根同号，两根都是正号
26、
27、13
28、
29、
30、
31、
32、x2－4x－2=0
33、3+ ，3－
34、(1)3y2－25y+50=0 (2)3y2－14y+8=0 (3)3y2+7y+2=0 (4)2y2－7y+3=0
35、(1) (2) (3)m=－2
36、m=－1，x1=0,x2=－1或m=11,x1=3,x2=2
37、
38、(1)m=15 (2) (3)m=7 (4)m=0 (5)m1=7,m2=－4
39、 时，根为－3；m=－4时，根为2
40、a=1
41、b=±7,c=10
42、
43、a=0或a=16
44、k=1
45、4
46、p=－1,q=－3
47、m=4,n=－29
48、a=－1
49、 或m=－3
50、(1)6 (2)m=－3;m=－2
51、证明：∵方程mx2－nx+2=0两根相等
∴m≠0且n2－8m=0 ①
由方程x2－4mx+3n=0的一根是另一根的3倍，故可设这两根为α、3α
则 ②
由①和②解得：m=2,n=4
因此，x2－(k+n)x+(k－m)=0即为
x2－(k+4)x+(k－2)=0
∵Δ=〔－(k+4)〕2－4(k－2)
=k2+4k+24
=(k+2)2+20
∵无论k为何值，都有(k+2)2≥0
∴(k+2)2+20>0，即Δ>0
因此方程x2－(k+n)x+(k－m)=0一定有实数根。
52、(1)证明：Δ=4m2－n2=(2m+n)(2m－n)
∵m、n分别是等腰三角形的腰和底边的长，∴2m+n>0；
又根据三角形三边的关系，有2m－n>0
∴Δ>0
因此方程 有两个不相等的实数根。
(2)16
53、
54、2b2=a(b+c)
55、28
56、证明：设方程2x2+5mx+3n=0的两根为2α、3α，则： 即
∴m2=n ①
∵方程x2－2nx+8m=0的两根相等
∴Δ=4n2－32m=0
即 n2－8m=0
①代入②，得：m4－8m=0
m(m2－8)=0
m(m－2)(m2+2m+4)=0
∴m=0或m－2=0或m2+2m+4=0(无实根)
∴m1=0,m2=2
∵mn≠0，∴m=0舍去，
当m=2时，n=4,α=1
对于方程mx2+(n+k－1)x+k+1=0
Δ=(n+k－1)2－4m(k+1)
=(k+3)2－8(k+1)
=k2－2k+1=(k－1)2
无论k为何值时，都有(k－1)2≥0
∴方程mx2+(n+k+1)x+k+1=0恒有实根。
57、(1)3－ (2)n=0且m≠0
58、x1+x2=－3，x1�6�1x2=1
59、 ， ;
60、x1+x2=0，
61、x1+x2= ,x1 x2=0
62、 ，
63、 ,t=
64、(1) (2) (3) (4)
65、
66、m=7，n=12
67、B
68、C
69、D
70、x2+5x+6=0，2x2－ x+1=0，x2－25=0，4x2－17x+4=0
71、－3和－4
72、(1)2x2－7x+2 =0 (2)x2+7x+4=0
73、 cm
74、-1,3
75、－2，x=－3
76、B
77、C
78、(1)16
(2)
79、1
80、1，
81、－1
82、C
83、(1) ;(2)1 ;(3)3
84、37
85、7y2+5y－1=0
86、略
87、m=±13
88、
89、(1)a＜－21 (2)由于两个根的和为10＞0，所以此方程不会有两个负根
90、这个直角三角形的面积是6。
91、a=±3，b=－4
92、(1)当m=5时，方程的一个根为零 (2)m为－1时，方程的两个根互为相反数 (3)略
93、(1)当 时，方程有两个大于－2的根 (2)当m＜0时，方程有一个根大于－2，另一个根小于－2
94、(1)－2 (2)1
95、 ，n=－1
1、如果方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根是x1、x2，那么x1+x2= ，x1�6�1x2= 。
2、已知x1、x2是方程2x2+3x－4=0的两个根，那么：x1+x2= ；x1�6�1x2= ； ；x21+x22= ；(x1+1)(x2+1)= ；｜x1－x2｜= 。
3、以2和3为根的一元二次方程(二次项系数为1)是 。
4、如果关于x的一元二次方程x2+ x+a=0的一个根是1－ ，那么另一个根是 ，a的值为 。
5、如果关于x的方程x2+6x+k=0的两根差为2，那么k= 。
6、已知方程2x2+mx－4=0两根的绝对值相等，则m= 。
7、一元二次方程px2+qx+r=0(p≠0)的两根为0和－1，则q∶p= 。
8、已知方程x2－mx+2=0的两根互为相反数，则m= 。
9、已知关于x的一元二次方程(a2－1)x2－(a+1)x+1=0两根互为倒数，则a= 。
10、已知关于x的一元二次方程mx2－4x－6=0的两根为x1和x2，且x1+x2=－2，则m= ，(x1+x2) = 。
11、已知方程3x2+x－1=0，要使方程两根的平方和为 ，那么常数项应改为 。
12、已知一元二次方程的两根之和为5，两根之积为6，则这个方程为 。
13、若α、β为实数且｜α+β－3｜+(2－αβ)2=0，则以α、β为根的一元二次方程为 。(其中二次项系数为1)
14、已知关于x的一元二次方程x2－2(m－1)x+m2=0。若方程的两根互为倒数，则m= ；若方程两根之和与两根积互为相反数，则m= 。
15、已知方程x2+4x－2m=0的一个根α比另一个根β小4，则α= ；β= ；m= 。
16、已知关于x的方程x2－3x+k=0的两根立方和为0，则k=
17、已知关于x的方程x2－3mx+2(m－1)=0的两根为x1、x2，且 ，则m= 。
18、关于x的方程2x2－3x+m=0，当 时，方程有两个正数根；当m 时，方程有一个正根，一个负根；当m 时，方程有一个根为0。
19、若方程x2－4x+m=0与x2－x－2m=0有一个根相同，则m= 。
20、求作一个方程，使它的两根分别是方程x2+3x－2=0两根的二倍，则所求的方程为 。
21、一元二次方程2x2－3x+1=0的两根与x2－3x+2=0的两根之间的关系是 。
22、已知方程5x2+mx－10=0的一根是－5，求方程的另一根及m的值。
23、已知2+ 是x2－4x+k=0的一根，求另一根和k的值。
24、证明：如果有理系数方程x2+px+q=0有一个根是形如A+ 的无理数(A、B均为有理数)，
那么另一个根必是A－ 。
25、不解方程，判断下列方程根的符号，如果两根异号，试确定是正根还是负根的绝对值大?
26、已知x1和x2是方程2x2－3x－1=0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值：
x31x2+x1x32
27、已知x1和x2是方程2x2－3x－1=0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值：
28、已知x1和x2是方程2x2－3x－1=0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值：
(x21－x22)2
29、已知x1和x2是方程2x2－3x－1=0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值：
x1－x2
30、已知x1和x2是方程2x2－3x－1=0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值：
31、已知x1和x2是方程2x2－3x－1=0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值：
x51�6�1x22+x21�6�1x52
32、求一个一元二次方程，使它的两个根是2+ 和2－ 。
33、已知两数的和等于6，这两数的积是4，求这两数。
34、造一个方程，使它的根是方程3x2－7x+2=0的根；(1)大3；(2)2倍；(3)相反数；(4)倒数。
35、方程x2+3x+m=0中的m是什么数值时，方程的两个实数根满足：(1)一个根比另一个根大2；(2)一个根是另一个根的3倍；(3)两根差的平方是17。
36、已知关于x的方程2x2－(m－1)x+m+1=0的两根满足关系式x1－x2=1，求m的值及两个根。
37、α、β是关于x的方程4x2－4mx+m2+4m=0的两个实根，并且满足 ，求m的值。
38、已知一元二次方程8x2－(2m+1)x+m－7=0，根据下列条件，分别求出m的值：
(1)两根互为倒数；
(2)两根互为相反数；
(3)有一根为零；
(4)有一根为1；
(5)两根的平方和为 。
39、已知方程x2+mx+4=0和x2－(m－2)x－16=0有一个相同的根，求m的值及这个相同的根。
40、已知关于x的二次方程x2－2(a－2)x+a2－5=0有实数根，且两根之积等于两根之和的2倍，
求a的值。
41、已知方程x2+bx+c=0有两个不相等的正实根，两根之差等于3，两根的平方和等于29，求b、c的值。
42、设：3a2－6a－11=0，3b2－6b－11=0且a≠b，求a4－b4的值。
43、试确定使x2+(a－b)x+a=0的根同时为整数的整数a的值。
44、已知一元二次方程(2k－3)x2+4kx+2k－5=0，且4k+1是腰长为7的等腰三角形的底边长，求
当k取何整数时，方程有两个整数根。
45、已知：α、β是关于x的方程x2+(m－2)x+1=0的两根，求(1+mα+α2)(1+mβ+β2)的值。
46、已知x1,x2是关于x的方程x2+px+q=0的两根，x1+1、x2+1是关于x的方程x2+qx+p=0的两根，求常数p、q的值。，
47、已知x1、x2是关于x的方程x2+m2x+n=0的两个实数根；y1、y2是关于y的方程y2+5my+7=0的两个实数根，且x1－y1=2,x2－y2=2，求m、n的值。
48、关于x的方程m2x2+(2m+3)x+1=0有两个乘积为1的实根，x2+2(a+m)x+2a－m2+6m－4=0有大于0且小于2的根。求a的整数值。
49、关于x的一元二次方程3x2－(4m2－1)x+m(m+2)=0的两实根之和等于两个实根的倒数和，求m的值。
50、已知：α、β是关于x的二次方程：(m－2)x2+2(m－4)x+m－4=0的两个不等实根。
(1)若m为正整数时，求此方程两个实根的平方和的值；
(2)若α2+β2=6时，求m的值。
51、已知关于x的方程mx2－nx+2=0两根相等，方程x2－4mx+3n=0的一个根是另一个根的3倍。
求证：方程x2－(k+n)x+(k－m)=0一定有实数根。
52、关于x的方程 =0，其中m、n分别是一个等腰三角形的腰长和底边长。
(1)求证：这个方程有两个不相等的实根；
(2)若方程两实根之差的绝对值是8，等腰三角形的面积是12，求这个三角形的周长。
53、已知关于x的一元二次方程x2+2x+p2=0有两个实根x1和x2(x1≠x2)，在数轴上，
表示x2的点在表示x1的点的右边，且相距p+1，求p的值。
54、已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的两根为α、β，且两个关于x的方程x2+(α+1)x+β2=0与x2+(β+1)x+α2=0有唯一的公共根，求a、b、c的关系式。
55、如果关于x的实系数一元二次方程x2+2(m+3)x+m2+3=0有两个实数根α、β，那么(α－1)2+(β－1)2的最小值是多少?
56、已知方程2x2－5mx+3n=0的两根之比为2∶3，方程x2－2nx+8m=0的两根相等(mn≠0)。求
证：对任意实数k，方程mx2+(n+k－1)x+k+1=0恒有实数根。
57、(1)方程x2－3x+m=0的一个根是 ，则另一个根是 。
(2)若关于y的方程y2－my+n=0的两个根中只有一个根为0，那么m，n应满足 。
58、不解方程,求下列各方程的两根之和与两根之积
x2+3x+1=0；
59、不解方程,求下列各方程的两根之和与两根之积
3x2－2x－1=0；
60、不解方程,求下列各方程的两根之和与两根之积
－2x2+3=0；
61、不解方程,求下列各方程的两根之和与两根之积
2x2+5x=0。
62、已知关于x的方程2x2+5x=m的一个根是－2，求它的另一个根及m的值。
63、已知关于x的方程3x2－1=tx的一个根是－2，求它的另一个根及t的值。
64、设x1，x2是方程3x2－2x－2=0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值：
(1)(x1－4)(x2－4)；
(2)x13x24+x14x23；
(3) ；
(4)x13+x23。
65、设x1，x2是方程2x2－4x+1=0的两个根，求｜x1－x2｜的值。
66、已知方程x2+mx+12=0的两实根是x1和x2，方程x2－mx+n=0的两实根是x1+7和x2+7， 求m和n的值。
67、以2，－3为根的一元二次方程是 ( )
A.x2+x+6=0 B.x2+x－6=0
C.x2－x+6=0 D.x2－x－6=0
68、以3，－1为根，且二次项系数为3的一元二次方程是 ( )
A.3x2－2x+3=0 B.3x2+2x－3=0
C.3x2－6x－9=0 D.3x2+6x－9=0
69、两个实数根的和为2的一元二次方程可能是 ( )
A.x2+2x－3=0 B.x2－2x+3=0
C.x2+2x+3=0 D.x2－2x－3=0
70、以－3，－2为根的一元二次方程为 ，
以 ， 为根的一元二次方程为 ，
以5，－5为根的一元二次方程为 ，
以4， 为根的一元二次方程为 。
71、已知两数之和为－7，两数之积为12，求这两个数。
72、已知方程2x2－3x－3=0的两个根分别为a，b，利用根与系数的关系，求一个一元二次方程 ，使它的两个根分别是：
(1)a+1.b+1
(2)
73、一个直角三角形的两条直角边长的和为6cm，面积为 cm2，求这个直角三角形斜边的长 。
74、在解方程x2+px+q=0时，小张看错了p，解得方程的根为1与－3；小王看错了q，解得方程的根为4与－2。这个方程的根应该是什么?
75、关于x的方程x2－ax－3=0有一个根是1，则a= ，另一个根是 。
76、若分式 的值为0，则x的值为 ( )
A.－1 B.3 C.－1或3 D.－3或1
77、若关于y的一元二次方程y2+my+n=0的两个实数根互为相反数，则 ( )
A.m=0且n≥0 B.n=0且m≥0C.m=0且n≤0 D.n=0且m≤0
78、已知x1，x2是方程2x2+3x－1=0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值：
(1)(2x1－3)(2x2－3)；
(2)x13x2+x1x23。
79、已知a2=1－a，b2=1－b，且a≠b，求(a－1)(b－1)的值。
80、如果x=1是方程2x2－3mx+1=0的一个根，则m= ，另一个根为 。
81、已知m2+m－4=0， ，m，n为实数，且 ，则 = 。
82、两根为3和－5的一元二次方程是 ( )
A.x2－2x－15=0 B.x2－2x+15=0
C.x2+2x－15=0 D.x2+2x+15=0
83、.设x1，x2是方程2x2－2x－1=0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值：
(1)(x12+2)(x22+2)；
(2)(2x1+1)(2x2+1)；
(3)(x1－x2)2。
84、.已知m，n是一元二次方程x2－2x－5=0的两个实数根，求2m2+3n2+2m的值。
85、已知方程x2+5x－7=0，不解方程，求作一个一元二次方程，使它的两个根分别是已知方 程的两个根的负倒数。
86、已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根之比为2∶1，求证：2b2=9ac。
87、.已知关于x的一元二次方程x2+mx+12=0的两根之差为11，求m的值。
88、已知关于y的方程y2－2ay－2a－4=0。(1)证明：不论a取何值，这个方程总有两个不相等的 实数根；(2)a为何值时，方程的两根之差的平方等于16?
89、已知一元二次方程x2－10x+21+a=0。(1)当a为何值时，方程有一正、一负两个根?(2)此 方程会有两个负根吗?为什么?
90、已知关于x的方程x2－(2a－1)x+4(a－1)=0的两个根是斜边长为5的直角三角形的两条直角边的长，求这个直角三角形的面积。
91、已知方程x2+ax+b=0的两根为x1，x2，且4x1+x2=0，又知根的判别式 =25，求a，b 的值。
92、已知一元二次方程8y2－(m+1)y+m－5=0。(1)m为何值时，方程的一个根为零?(2)m为何值时 ，方程的两个根互为相反数?(3)证明：不存在实数m，使方程的两个相互为倒数。
93、当m为何值时，方程3x2+2x+m－8=0：(1)有两个大于－2的根?(2)有一个根大于－2，另一个 根小于－2?
94、已知2s2+4s－7=0，7t2－4t－2=0，s，t为实数，且st≠1。求下列各式的值：
(1) ；;
(2) 。
95、已知x1，x2是一元二次方程x2+ x+n=0的两个实数根，且x12+x22+(x1+x2)2=3， ，求m和n的值。
一元二次方程根与系数关系专项训练答案
1、 ；
2、 ；－2； ； ； ；
3、x2－5x+6=0
4、－1； －1
5、8
6、0
7、1
8、0
9、
10、－2；－8
11、－2
12、x2－5x+6=0
13、x2－3x+2=0
14、－1；－1－
15、－4；0；0
16、3
17、
18、
19、0或3
20、y2+6y－8=0
21、互为倒数
22、另一根为 ，m=23
23、另一根为2－ ，k=1
24、证明：∵A+ 是方程x2+px+q=0的根
∴(A+ )2+p(A+ )+q=0
即A2+B+pA+q=－(2A+p)
由于等式左边是有理数，而右边是无理数所以满足以下条件时，等式才成立：
∴p=－2A
设方程两根为x1、x2，
∴x1+x2=2A，又x2=A+
x2=2A－(A+ )=A－
25、(1)两根异号，正根绝对值大 (2)两根同号，两根都是正号
26、
27、13
28、
29、
30、
31、
32、x2－4x－2=0
33、3+ ，3－
34、(1)3y2－25y+50=0 (2)3y2－14y+8=0 (3)3y2+7y+2=0 (4)2y2－7y+3=0
35、(1) (2) (3)m=－2
36、m=－1，x1=0,x2=－1或m=11,x1=3,x2=2
37、
38、(1)m=15 (2) (3)m=7 (4)m=0 (5)m1=7,m2=－4
39、 时，根为－3；m=－4时，根为2
40、a=1
41、b=±7,c=10
42、
43、a=0或a=16
44、k=1
45、4
46、p=－1,q=－3
47、m=4,n=－29
48、a=－1
49、 或m=－3
50、(1)6 (2)m=－3;m=－2
51、证明：∵方程mx2－nx+2=0两根相等
∴m≠0且n2－8m=0 ①
由方程x2－4mx+3n=0的一根是另一根的3倍，故可设这两根为α、3α
则 ②
由①和②解得：m=2,n=4
因此，x2－(k+n)x+(k－m)=0即为
x2－(k+4)x+(k－2)=0
∵Δ=〔－(k+4)〕2－4(k－2)
=k2+4k+24
=(k+2)2+20
∵无论k为何值，都有(k+2)2≥0
∴(k+2)2+20>0，即Δ>0
因此方程x2－(k+n)x+(k－m)=0一定有实数根。
52、(1)证明：Δ=4m2－n2=(2m+n)(2m－n)
∵m、n分别是等腰三角形的腰和底边的长，∴2m+n>0；
又根据三角形三边的关系，有2m－n>0
∴Δ>0
因此方程 有两个不相等的实数根。
(2)16
53、
54、2b2=a(b+c)
55、28
56、证明：设方程2x2+5mx+3n=0的两根为2α、3α，则： 即
∴m2=n ①
∵方程x2－2nx+8m=0的两根相等
∴Δ=4n2－32m=0
即 n2－8m=0
①代入②，得：m4－8m=0
m(m2－8)=0
m(m－2)(m2+2m+4)=0
∴m=0或m－2=0或m2+2m+4=0(无实根)
∴m1=0,m2=2
∵mn≠0，∴m=0舍去，
当m=2时，n=4,α=1
对于方程mx2+(n+k－1)x+k+1=0
Δ=(n+k－1)2－4m(k+1)
=(k+3)2－8(k+1)
=k2－2k+1=(k－1)2
无论k为何值时，都有(k－1)2≥0
∴方程mx2+(n+k+1)x+k+1=0恒有实根。
57、(1)3－ (2)n=0且m≠0
58、x1+x2=－3，x1�6�1x2=1
59、 ， ;
60、x1+x2=0，
61、x1+x2= ,x1 x2=0
62、 ，
63、 ,t=
64、(1) (2) (3) (4)
65、
66、m=7，n=12
67、B
68、C
69、D
70、x2+5x+6=0，2x2－ x+1=0，x2－25=0，4x2－17x+4=0
71、－3和－4
72、(1)2x2－7x+2 =0 (2)x2+7x+4=0
73、 cm
74、-1,3
75、－2，x=－3
76、B
77、C
78、(1)16
(2)
79、1
80、1，
81、－1
82、C
83、(1) ;(2)1 ;(3)3
84、37
85、7y2+5y－1=0
86、略
87、m=±13
88、
89、(1)a＜－21 (2)由于两个根的和为10＞0，所以此方程不会有两个负根
90、这个直角三角形的面积是6。
91、a=±3，b=－4
92、(1)当m=5时，方程的一个根为零 (2)m为－1时，方程的两个根互为相反数 (3)略
93、(1)当 时，方程有两个大于－2的根 (2)当m＜0时，方程有一个根大于－2，另一个根小于－2
94、(1)－2 (2)1
95、 ，n=－1
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