Question

关于一道三角函数的化简题

题目如图 化简该式

Answer 1

我们会用到公式:

它们成立的条件是cosx/2与sinx/2本身是>=0的.

比如当x>=0,且<=pi.

 

首先我们对原来的式子作变形,得到:

 

最外层根号的分子与分母都除以2,得到:

 

反复这样操作,最终得到:

 

没有办法,我们只能把(cosa)/2写成cos(arcos(cos(a)/2))

然后由里到外,不断褪去根号:

 

第一步,得到:

注意arccos取值为[0,pi],所以公式可用.

 

第二步,我们把sin用cos写出,得到:

再次褪去一层根号,得到:

公式仍然成立.

 

第三步,我们把sin用cos写出,再褪去根号,得到:

 

第四步,我们得到最终结果:

 

我们的想法,源于Viete的无穷乘积.

Euler曾经对它有一个犀利的推广:

(1)

 

对(1)我们有几点说明:

1. 如果在公式(1)中,代入x=pi/2,便得到Viete的公式,

   这是因为        

这就是我们方法的灵感来源.

   

   2.如何推导(1),这是因为:

这是反复使用"半角公式"的结果,再取极限我们就能得到(1)

 

:)