Question

【求助线代】正交变换法与相似对角化的问题（已解决）

在置顶答疑贴里也跟了这道题，再发个帖讨论下，斑竹原谅哦~~【题目】A是3阶矩阵，且有3个互相正交的的特征向量，证明A是对称矩阵。【证明】设A的特征值为λ1、λ2、λ3，对应特征向量分别为X1、X2、X3。 非零正交向量组必线性无关 => X1、X2、X3线性无关 对其单位化为γ1、γ2、γ3 令P=(γ1 γ2 γ3)对A正交变换为相似标准形Λ，即P^T AP=Λ 从而A^T =(PΛ P^T )^T=PΛ P^T =A，即A是对称矩阵。【我的问题】 1.只要能正交变换的n阶矩阵就是对称矩阵了吗？ 2.换句话说，若n阶矩阵A可对角化，则必存在n个线性无关的特征向量。如果对这些特征向量正交化、单位化，那么A不是如同题干上讲的：具有n个相互正交的特征向量了吗？岂不是就是对称矩阵了吗，不是矛盾了？ 3.是不是凡是有n个相互正交的特征向量的n阶矩阵就可以通过正交变换化为相似标准形了吗？ 4.又可以说，实对称矩阵一定要通过正交变换法才能变为相似标准形吗？ 辛苦回答一下我的问题，谢谢！[]

Answer 1

首先要清楚实对称矩阵有这样的性质性质 1.实对称矩阵特征值为实数。 2..实对称矩阵一定有N个线性无关的特征向量。 3..实对称矩阵不同特征值对应的特征向量相互正交。 对于你的问题 1.正确。由性质3得 2.若A可以正交对角化，T^-1AT=/\,两边取转置，可以得到A为实对称矩阵，若有N个不同的特征值，则有N个正交的向量。 3.是的。正交就说明线性无关了。。 4.不是的。实对称矩阵可以找到可逆矩阵P，也可以找到正交矩阵T使其对角化。 由性质2，可知必可找到P，由性质3，可知必可通过施密特正交化，单位化，找到一个正交矩阵T。

Answer 2

对实对称矩阵的相似对角化和正交对角化所得到的对角形元素都为特征值。只不过变换的矩阵不同，一个是初等矩阵，一个是正交矩阵。 因为实对称矩阵是一般矩阵的特例，所以一般矩阵能用的相似对角化方法。得到的结论，它肯定可以适用，只不过由于特殊的性质，多了一个相似对角化方法，即正交对角化。 但是相似对角化和二次型里的配方法等对角化是不同的。。。这个是要注意的。。。 [ ]

Answer 3

基本的性质定理要搞清楚

Answer 4

推导式很清楚了。 关键是上面这点概念上的东西，还不是梳理很明了