Question

求这个函数项级数的极限，并解释原理，谢谢

上图中，O是原点，ρ 为P与O' 的距离，α 为O与O' 的距离，已知r，α 求ρ 时，已经知道以下公式是对的：　

为简单，记级数的和函数为 S(θ)，我的问题是，这个函数肯定是连续的，但是，在r~a+ 时，为什么lnr- S(θ) 和 lna - S(θ)相等呢？ S(θ) =？？？

如果可以，最好解释一下，为什么ln ρ = 这个分段函数。我是完全没有头绪，不知道怎么得来的。

谢谢高人！





Answer 1

呃，你有没有发现，
当r>a时，级数的表达式为Σ[1/m·(a/r)^m·cos(mθ)]
而r<a时，级数的表达式为Σ[1/m·(r/a)^m·cos(mθ)]
由于OP、OO'具有对称性，你可以这样想，当r<a时，令R=a，A=r，此时R>A，则套用第一个公式
lnρ=lnR-Σ[1/m·(A/R)^m·cos(mθ)]=lna-Σ[1/m·(r/a)^m·cos(mθ)]

而当r=a时，a/r=r/a=1，则级数就变为Σ[1/m·cos(mθ)]

至于这个级数怎么求，以及表达式为什么会是这样，不好意思，我还没想明白。