Question

证明：对于任意整数n,m,n^2+(n+1)^2=m^2+1不可能成立

RT

Answer 1

先变形，因为 n^2+(n+1)^2=m^2+1
所以 2n^2+2n=m^2，即 2n(n+1)=m^2
可见，左边始终是偶数，那么，右边就只有m为偶数时，等式才成立。
设m=2k（k为任意自然数），那么 2n(n+1)=4k^2
于是 n(n+1)=2k^2
注意，不论n为何数，左边始终是奇数，但是，右边始终是偶数，也就是说，m为偶数时，等式仍然不能成立。
综上，不论n和m为任何整数，等式均不能成立。

Answer 2

答：将原式裂项，得到n²+n²+1+2n=2n²+2n+1，满足原式，即需满足2（n²+n）=m²（n、m∈Z），有解n=1，m=2（1+4=4+1），所以原式成立。（题目是错的……）

追问

不好意思，我把题目写错了，应是
n^2+(n+1)^2=m^2+2

追答

n^2+(n+1)^2=m^2+2在m是偶数时绝不成立（两边奇偶性不同），所以只需讨论奇数域的解。

因为（±3）²+（4±）²＜（±5）²+2＜（±4）²+（±5）²……，众所周知，当某一边较大时，此式不成立，若要两式平衡，需要解方程n^2+(n+1)^2=m^2+2（n、m∈[-5,-4，-3，-2,1-1,0,1,2,3,4,5]），此方程无解。证完。

Answer 3

题目是错误的吧，当m=n=0或m=2,n=1时，等式成立

追问

不好意思，我把题目写错了，应是
n^2+(n+1)^2=m^2+2