Question

如果实数X,Y满足X^2+Y^2-4x+1=0.求1：Y/X的最大值；2：y-x最小值

Answer 1

1.设y/x=k,则y=kx,代入x^2+y^2-4x+1=0①得
（1+k^2）x^2-4x+1=0,x∈R,
∴△/4=4-（1+k^2)=3-k^2>=0,
∴k^2<=3,
∴-√3<=k<=√3，
∴y/x=k的最大值=√3.
2.①配方得(x-2)^2+y^2=3,
可设x=2+√3cosa,y=√3sina,则
y-x=√3sina-√3cosa-2
=√6sin(a-45°)-2,
其最小值=-√6-2.

Answer 2

因X^2+Y^2-4X+1=0可知，(X-2)^2+y^2=3,由于对任何实数a,b,都有不等式(a+b)^2<=2(a^2+b^2),(a-b)^2<=2(a^2+b^2),所以，[(x-2)-y]^2<=2[(x-2)^2+y^2]=6即，-sqrt(6)<=x-y-2<=sqrt(6)-2-sqrt(6)<=y-x<=-2+sqrt(6).即y-x有最小值-2-sqrt(6).此时，x=2+sqrt(6)/2,y=-sqrt(6)/2.(2)因X^2+Y^2-4X+1=0,即(x-2)^2+y^2=3,所以，(x-2)^2<=3,2-sqrt(3)<=x<=2+sqrt(3).那么x^2+y^2=4x-1在x=2-sqrt(3)时最小，最小值是7-4sqrt(3);x^2+y^2=4x-1在x=2+sqrt(3)时最小，最小值是7+4sqrt(3).

Answer 3

简便方法：
　y/x最大时，Ａ（x,y)在第一象限，且Ａ为过原点切圆的直线的切点
　圆方程化为：(x-2)^2+y^2=3
　知切线与Ｘ轴夹角为６０度，y/x=tan60度＝sqrt(3)

Answer 4

(x-2)^2+y^2=3.因此令x-2=√3cost,y=√3sint(0≤t<2π).因此y/x=√3sint/(2+√3cost)令其等于k,则2k+√3kcost=√3sint.2k=-√3kcost+√3sint.因此(-√3k)^2+(√3)^2≥(2k)^2.|k|≤√3,最大值为√3。
y-x=√3sint-√3cost-2=√6sin(t-π/4)-2≤√6-2

Answer 5

因X^2+Y^2-4X+1=0可知，(X-2)^2+y^2=3,由于对任何实数a,b,都有不等式(a+b)^2<=2(a^2+b^2),(a-b)^2<=2(a^2+b^2),所以，[(x-2)-y]^2<=2[(x-2)^2+y^2]=6即，-sqrt(6)<=x-y-2<=sqrt(6)-2-sqrt(6)<=y-x<=-2+sqrt(6).即y-x有最小值-2-sqrt(6).此时，x=2+sqrt(6)/2,y=-sqrt(6)/2.(2)因X^2+Y^2-4X+1=0,即(x-2)^2+y^2=3,所以，(x-2)^2<=3,2-sqrt(3)<=x<=2+sqrt(3).那么x^2+y^2=4x-1在x=2-sqrt(3)时最小，最小值是7-4sqrt(3);x^2+y^2=4x-1在x=2+sqrt(3)时最小，最小值是7+4sqrt(3).