Question

设P是一个数集，且至少含有两个数，若对于任意a,b∈R都有a+b,a-b,ab,a/b ∈P(b≠0

设P是一个数集，且至少含有两个数，若对于任意a,b∈R都有a+b,a-b,ab,a/b ∈P(b≠0),则称P是一个数域。例如，有理数Q是一个数域，数集F={a+b√2|a,b∈Q}也是数域。给出下列命题：①整数集是数域；②若有理数集Q含于M，则数集M也为数域；③数域必为无限集；④存在无穷多个数域。其中正确的命题有__________(填序号）。

为什么3、4对?如果一个数域只有1和0两个元素，不也成立么?

Answer 1

根据定义，如果a,b在P中，那么a+b, a+2b, a+3b, ..., a+kb, ...（k是整数）都在P中。由于整数有无穷多个，故数域必为无限集。

可以证明，任何一个形如{a+b√k|a,b∈Q}（k是素数）的集合都是数域，而素数有无穷多个，并且k不同时集合也不同，故存在无穷多个数域。

证明数域只需要按照定义，在集合中任取两个数，计算它们加减乘除的结果，证明一定还属于这个集合。假设a属于这个数域，那么a-a=0，a/a=1，所以数域必定包含0,1。

数集类型

数学中一些常用的数集及其记法：

所有正整数组成的集合称为正整数集，记作N*，Z+或N+。

所有负整数组成的集合称为负整数集，记作Z-。

全体非负整数组成的集合称为非负整数集（或自然数集），记作N。

全体整数组成的集合称为整数集，记作Z。

Answer 2

题目中“a,b∈R”，R应是P.

①1,2∈Z，1/2不属于Z，此为反例，不填；
②令M=Q∪{π}，1,π∈M，1+π不属于M，此为反例，不填；
③令数域P，a,b∈P，由互异性a,b不会同时为0，不妨设a≠0，则
a+b,a-b∈P
(a+b)+(a-b)=2a∈P
2a/a=2∈P
a/a=1∈P
1-1=0∈P （数域必含元素0，1得证）
2+1=3∈P
3+1=4∈P
…………
因此，数域必为无限集，填。

（对于你说的{0,1}，1+1=2不属于{0,1}，所以{0,1}不是数域。）

④显然{F|F={a+b√p|a,b∈Q},p是质数}是无限集，且是数域集的子集，因此存在无穷多个数域，填。
令a,b,c,d∈Q，p是质数，则a+b√p,c+d√p∈F
a+c,b+d∈Q => (a+b√p)+(c+d√p)=a+c+(b+d)√p∈F
a-c,b-d∈Q => (a+b√p)-(c+d√p)=a-c+(b-d)√p∈F
ac+bdq,ad+bc∈Q => (a+b√p)(c+d√p)=ac+bdq+(ad+bc)√p∈F
(ac-bdq)/(c²-d²p),(bc-ad)/(c²-d²p)∈Q
=> (a+b√p)/(c+d√p)=(a+b√p)(c-d√p)/(c+d√p)(c-d√p)=[ac-bdq+(bc-ad)√p]/(c²-d²p)
=(ac-bdq)/(c²-d²p)+[(bc-ad)/(c²-d²p)]√p∈F
综合上述，p是质数时，F是数域，质数有无数个，因此F有无数个，因此数域有无数个。

Answer 3

如果只有0，1两个数，那么1+1=2就不在这个集合里了。
(3)根据定义，如果a,b在P中，那么a+b, a+2b, a+3b, ..., a+kb, ...（k是整数）都在P中。由于整数有无穷多个，故数域必为无限集。
(4)可以证明，任何一个形如{a+b√k|a,b∈Q}（k是素数）的集合都是数域，而素数有无穷多个，并且k不同时集合也不同，故存在无穷多个数域

追问

{a+b√k|a,b∈Q}（k是素数）这个怎么证明？
还有一个选项是“数域必含有0,1两个数”，这个为什么是正确的？

追答

证明数域只需要按照定义，在集合中任取两个数，计算它们加减乘除的结果，证明一定还属于这个集合。
假设a属于这个数域，那么a-a=0，a/a=1，所以数域必定包含0,1