Question

已知二次函数f(x)=ax^2+bx+c,对于x属于[0,1]均有|f(x)|<=1,求|a|+|b|+|c|的最大值

已知二次函数f(x)=ax^2+bx+c,对于x属于[0,1]均有|f(x)|<=1,求|a|+|b|+|c|的最大值 貌似答案是17 求解答过程啊

Answer 1

解:
依题意有
{f(0)=c,
{f(1/2)=(1/4)a+(1/2)b+c
{f(1)=a+b+c
解得,
{a=2f(1)+2f(0)-4f(1/2),
{b=4f(1/2)-f(1)-3f(0),
{c=f(0)
所以,依绝对值不等式性质知,
|a|=|2f(1)+2f(0)-4f(1/2)|
≤2|f(1)|+2|f(0)|+4|f(1/2)|
≤8,
|b|=|4f(1/2)-f(1)-3f(0)|
≤4|f(1/2)|+|f(1)|+3|f(0)|
≤8,
|c|=|f(0)|
≤1.
∴|a|+|b|+|c|≤8+8+1=17.
对于二次函数f(x)=8x^2-8x+1,
当x∈[0,1]时,|f(x)|≤1,且|a|+|b|+|c|=17,
∴|a|+|b|+|c|的最大值为17.
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