Question

数学大神帮帮忙

圆M方程为(x-2)^2+y^2=1，直线l的方程为y=2x，点P在直线l上，过点P作圆M的切线PA,PB切点为A,B.求向量PA·PB最小值　
不要用图片答

Answer 1

设PA=PB=X（x＞0），∠APO=α，
则∠APB=2α，由勾股定理得PO=根号（1+x^2），
sinα=1/根号（1+x^2），
向量PA•向量PB=|PA|•|PB|cos2α=x^2（1-2sin^2α）={x^2（x^2-1）}/(1+x^2)
=（x^4-x^2）/（1+x^2），
令向量PA•向量PB=y，
则y==（x^4-x^2）/（1+x^2），
即x^4-（1+y）x^2-y=0，
由于x^2是实数∴△={-（1+y）}^2-4×1×（-y）≥0，
y^2+6y+1≥0
解得y≤-2√2-3或y≥-3+2√2

x^2＞0，设x^2=t,
方程x^4-（1+y）x^2-y=0可以化为t^2-（1+y）t-y=0,
根据韦达定理得：t1+t2=1+y,t1t2=-y,
当y≤-2√2-3时，t1+t2<0, t1t2>0,
这时t1，t2都是负值，因为x^2=t>0,所以不合题意，舍去。
当y≥-3+2√2时，t1+t2>0, t1t2>0,
这时t1，t2都是正值，符合题意。

故（向量PA•向量PB）min=-3+2√2

Answer 2

11/5.

经判断，直线与园无交点。
PA*PB=PM^2-1(M为圆心)
设点P（x,2x）,其到圆心的距离PM^2=(x-2)^2+4x^2=5(x-2/5)^2+16/5,则当x=2/5时，PA*PB最小，为PM^2-1=11/5

Answer 3

看错题了，唉~~~~~