Question

已知a，b，c均为正数，证明：a2+b2+c2+(1/a+1/b+1/c)2≥6√3，并确定a,b,c为何值时，等号成立。

已知a，b，c均为正数，证明：a^2+b^2+c^2+(1/a+1/b+1/c)^2≥6√3，并确定a,b,c为何值时，等号成立。

Answer 1

因为a，b，c均为正数，由平均值不等式得 {a2+b2+c2≥3(abc)231a+1b+1c≥3(abc)-13①
所以 (1a+1b+1c)2≥9(abc)-23②（
故 a2+b2+c2+(1a+1b+1c)2≥3(abc)23+9(abc)-23．
又 3(abc)23+9(abc)-23≥227=63③
所以原不等式成立
当且仅当a=b=c时，①式和②式等号成立．当且仅当 3(abc)23=9(abc)-23时，③式等号成立．
即当且仅当a=b=c= 314时，原式等号成立．