Question

帮忙解答两道高一数学题，要详细过程，谢谢！

1.对于函数

（1）探索函数f（x）的单调性；
（2）是否存在函数a使函数f (x)为奇函数？

2.

求证：
（1）[g(x)]²-[f(x)]²=1
(2)f(2x)=2f(x)·g(x)
(3)g(2x)=[g(x)]²+[f(x)]²





Answer 1

1. （1）探索函数f（x）的单调性:

   由单调函数的定义易证函数y=-2/(2^x+1)在（-∞，+∞）上单调递增，（证明：略）

   又把函数y=-2/(2^x+1)的图象平移|a|个单位（a>0时向上平移，a<0时向下平移），

   可得函数f(x)=a-2/(2^x+1)的图象，

   即

   a仅影响相关函数图象上、下平移多少，并不影响相关函数的单调性。

   ∴函数f(x)=a-2/(2^x+1)在（-∞，+∞）上单调递增。如图

   

 

　　（2）是否存在实数a使函数f (x)为奇函数？

　　存在实数a=1，使函数f (x)=1-2/(2^x+1)为奇函数.如上图，（证明：略）

 

　　2.（1）由f(x)=[e^x-e^(-x)]/2,g(x)=[e^x+e^(-x)]/2.

　　得

　　[f(x)]²={[e^x-e^(-x)]/2}²=[e^2x-2+e^(-2x)]/4,

　　[g(x)]²={[e^x+e^(-x)]/2}²=[e^2x+2+e^(-2x)]/4,

　　∴[g(x)]²-[f(x)]²={[e^2x+2+e^(-2x)]/4}-[e^2x-2+e^(-2x)]/4=(1/2)+(1/2)=1

　　（2）又f(2x)=[e^2x-e^(-2x)]/2,g(2x)=[e^2x+e^(-2x)]/2.

　　而2f(x)g(x)=2{[e^x-e^(-x)]/2}[e^x+e^(-x)]/2=[e^2x-e^(-2x)]/2.

　　∴f(2x)=2f(x)·g(x)

　　（3）同样

　　g(2x)=[e^2x+e^(-2x)]/2.

　　[g(x)]²+[f(x)]²={[e^2x+2+e^(-2x)]/4}+[e^2x-2+e^(-2x)]/4)=[e^2x+e^(-2x)]/2.

　　∴g(2x)=[g(x)]²+[f(x)]²

追问

能帮忙把略的地方补充一下么？谢谢

追答

tangmei1001已给出了详细地相关证明，无需再赘述了。

Answer 2

1.函数f(x)=a-2/(2^x+1)的定义域是R，
(1)设x1<x2，
则f(x1)-f(x2)=a-2/(2^x1+1)-a+2/(2^x2+1)
=2(2^x1-2^x2)/[(2^x2+1)(2^x1+1)]
∵x1<x2，∴2^x1-2^x2<0，
∵2^x2+1>0，2^x1+1>0，
∴f(x1)-f(x2)=2(2^x1-2^x2)/[(2^x2+1)(2^x1+1)]<0，即f(x1)<f(x2)，
故f(x)=a-2/(2^x+1)在R上是增函数。
(2)若f(x)是奇函数，则f(x)+f(-x)=0，
a-2/(2^x+1)+a-2/[2^(-x)+1]=0
a=1/(2^x+1)+1/[2^(-x)+1]=1/(2^x+1)+2^x/(1+2^x)=1，
∴当a=1时，f(x)=1-2/(2^x+1)=(2^x-1)/(2^x+1)是奇函数。

2.∵f(x)=[e^x-e^(-x)]/2，g(x)=[e^x+e^(-x)]/2
(1)[g(x)]²-[f(x)]²=)=[e^(2x)+2+e^(-2x)]/4-[e^(2x)-2+e^(-2x)]/4
=4/4=1，
(2)f(2x)=[e^(2x)-e^(-2x)]/2=[e^x-e^(-x)][e^x+e^(-x)]/2
=2[e^x-e^(-x)][e^x+e^(-x)]/4
=2f(x)g(x)，
(3)[g(x)]²+[f(x)]²=[e^(2x)+2+e^(-2x)]/4+[e^(2x)-2+e^(-2x)]/4
=[e^(2x)+e^(-2x)]/2=g(2x)。