Question

一平面与空间四边形对角线AC、BD都平行，且交空间四边形AB、BC、CD、DA分别于E、F、G、H

一平面与空间四边形对角线AC、BD都平行，且交空间四边形AB、BC、CD、DA分别于E、F、G、H （1）若AC=BD，四边形EFGH能否为菱形？（2）在什么情况下，四边形EFGH为矩形？（3）在什么情况下，四边形EFGH为正方形？（4）若AC=BD=a，求证：平行四边形EFGH周长为定值

Answer 1

2. E、F、G、H分别为空间四边形的边AB、BC、CD、DA的中点时四边形EFGH能为菱形。证明：
由题有 DH/AD=GH/AC AH/AD=EH/BD
得 HG==AC*DH/AD EH=AH*BD/AD
要使四边形EFGH能为菱形，必须有HG=EH
又 AC=BD 已知
故需有DH=AH 即H为AD中点
同理有 E、F、G分别为AB、BC、CD中点。

3. 条件：AC垂直BD 证明：
因为EF//AC , GH//AC
EH//BD , FG//BD
由AC垂直BD 得 EF垂直EH , EF垂直FG , GH垂直EH , GH垂直FG
故EFGH为矩形

4. 条件：AC=BD 且 AC垂直BD 证明：
由第二问得当 AC=BD 时 EFGH为菱形，有EG垂直FH
由第三问得当 AC垂直BD时 EFGH为矩形，有四边形EFGH四个角都为直角
由上述两点得EFGH为正方形

5. 解：
由 DH/AD=GH/AC AH/AD=EH/BD 得 EH+GH=AC
四边形EFGH周长=2*(EH+GH)=2*AC=2a