Question

已知：在△ABC中，∠ACB=90°，点P是线段AC上一点，过点A作AB的垂线，交BP的延长线于点M，MN⊥AC于点N，

PQ⊥AB于点Q，AQ=MN
1）证：PC=AN
2）E是MN上一点，连接EP并延长交BC于点K，点D是AB上一点，连接DK，∠DKE=∠ABC，EF⊥PM于点H，交BC延长线于点F，若NP=2，PC=3，CK：CF=2:3，求DQ的长

Answer 1

（1）证法一：
如图①，∵BA⊥AM，MN⊥AP，∴∠BAM=ANM=90°
∴∠PAQ+∠MAN=∠MAN+∠AMN=90°
∴∠PAQ=∠AMN
∵PQ⊥AB MN⊥AC，∴∠PQA=∠ANM=90°
∴AQ=MN，∴△AQP≌△MNA
∵AN=PQ AM=AP，∴∠AMB=∠APM
∵∠APM=∠BPC∠BPC+∠PBC=90°，∠AMB+∠ABM=90°
∴∠ABM=∠PBC
∵PQ⊥AB，PC⊥BC
∴PQ=PC（角平分线的性质），
∴PC=AN；
证法二：
如图①，∵BA⊥AM，MN⊥AC，∴∠BAM=ANM=90°
∴∠PAQ+∠MAN=∠MAN+∠AMN=90°
∴∠PAQ=∠AMN
∵PQ⊥AB，∴∠APQ=90°=∠ANM
∴AQ=MN，∴△PQA≌△ANM
∴AP=AM，PQ=AN，∴∠APM=∠AMP
∵∠AQP+∠BAM=180°，∴PQ∥MA
∴∠QPB=∠AMP
∴∠APM=∠BPC，∴∠QPB=∠BPC
∴∠BQP=∠BCP=90°，BP=BP
∴△BPQ≌△BCP
∴PQ=PC，∴PC=AN．
（2）解法一：
如图②，∵NP=2 PC=3，∴由（1）知PC=AN=3
∴AP=NC=5 AC=8，∴AM=AP=5
∴AQ=MN==4
∵∠PAQ=∠AMN∠ACB=∠ANM=90°
∴∠ABC=∠MAN
∴tan∠ABC=tan∠MAN==
∵tan∠ABC=，∴BC=6
∵NE∥KC，∴∠PEN=∠PKC，
又∵∠ENP=∠KCP，∴△PNE∽△PCK，
∴=，∴CK：CF=2：3，
设CK=2k，则CF=3k
∴=，NE=k．
过N作NT∥EF交CF于T，则四边形NTFE是平行四边形
∵NE=TF=k，∴CT=CF﹣TF=3k﹣k=k
∵EF⊥PM，∴∠BFH+∠HBF=90°=∠BPC+∠HBF，∴∠BPC=∠BFH
∵EF∥NT，∴∠NTC=∠BFH=∠BPC
tan∠NTC=tan∠BPC==2，∴tan∠NTC==2，
∴CT=k=，∴k=，∴CK=2×=3，BK=BC﹣CK=3
∵∠PKC+∠DKC=∠ABC+∠BDK，∠DKE=∠ABC，∴∠BDK=∠PKC
tan∠PKC==1，∴tan∠BDK=1．
过K作KG∥BD于G
∵tan∠BDK=1，tan∠ABC=，∴设GK=4n，则BG=3n，GD=4n
∴BK=5n=3，∴n=，∴BD=4n+3n=7n=
∴AB==10，AQ=4，∴BQ=AB﹣AQ=6
∴DQ=BQ﹣BD=6﹣
解法二：
如图③，∵NP=2，PC=3，∴由（1）知PC=AN=3
∴AP=NC=5，AC=8，∴AM=AP=5
∴AQ=MN==4
∵NM∥BC，∴∠NMP=∠PBC
又∵∠MNP=∠BCP，∴△MNP∽△BCP
∴=，∴=
BC=6
作ER⊥CF于R，则四边形NERC是矩形
∴ER=NC=5，NE=CR
∵∠BHE=∠BCR=90°
∴∠EFR=90°﹣∠HBF∠BPC=90°﹣∠HBF
∴∠EFR=∠BPC，∴tan∠EFR=tan∠BPC，∴=，即=
∴RF=，
∵NE=KC，∴∠NEP=∠PKC
又∵∠ENP=∠KCP，∴△NEP∽△CKP，∴==
∴CK：CF=2：3，设CK=2k，CF=3k
∴NE=CR=k，CR=CF﹣RF=3k﹣，∴3k﹣=k
∴k=，∴CK=3 CR=2×BK=3
在CF的延长线上取点G，使∠EGR=∠ABC，∴tan∠EGR=tan∠ABC
∴==，∴RG=ER=，EG==，KG=KC+CR+RG=，
∵∠DKE+∠EKC=∠ABC+∠BDK，∠ABC=∠DKE，∴∠BDK=∠EKC，
∴△BDK∽△GKE，∴=
∴BDEG=BKKG，∴∠BDK=∠EKC，∴△BDK∽△GKE，∴BD=
∴AB==10，AQ=4，∴BQ=AB﹣AQ=6
∴DQ=BQ﹣BD=6﹣=
解法三：
如图④，∵NP=2，PC=3，∴由（1）知PC=AN=3
∴AP=NC=5，AC=8，∴AM=AP=5
∴AQ=MN==4
∵NM∥BC，∴∠EMH=∠PBC∠PEN=∠PKC
又∵∠PNE=∠PCK，∴△PNE∽△PCK，△PNM∽△PCB
∴=，=，∴CK：CF=2：3，设CK=2k，CF=3k
∴=，=，∴NE=k，BC=6
∴BF=6+3k，ME=MN﹣NE=4﹣k
tan∠ABC==，BP==3
∴sin∠EMH=sin∠PBC==
∵EF⊥PM，∴FH=BFsin∠PBC=（6+3k）
EH=EMsin∠EMH=（4﹣k）
∴tan∠REF=tan∠PBC=，∴tan∠REF=×RF=
∴EF==，∴EH+FH=EF
∴（4﹣k）+（6+3k）=，∴k=
∴CK=2×=3，BK=BC﹣CK=3
∴∠PKC+∠DKE=∠ABC+∠BDK∠DKE=∠ABC，∴∠BDK=∠PKC
∵tan∠PKC=1，∴tan∠BDK=1，
过K作KG⊥BD于G
∴tan∠BDK=1，tan∠ABC=
∴设GK=4n，则BG=3n，GD=4n
∴BK=5n=3，∴n=，∴BD=4n+3n=7n=
∴AB==10，AQ=4，∴BQ=AB﹣AQ=6
∴DQ=BQ﹣BD=6﹣．

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揪错 收藏提供者：郭峰禄 时间：2012-08-22

发现相似题
与“已知：在△ABC中，∠ACB=90°，点P是线段AC上一点，过点A作AB的垂线..”考查相似的试题有：

试题ID
试题题文

89767 如图，如果AD=BC，∠1=∠2，那么△ABC≌△CDA，根据是（）。
89705 如图，已知AB=AC，E是角平分线AD上任意一点，则图中全等三角形有[]A.4对B.
89694 如图，已知∠B=∠DEF，AB=DE，请添加一个条件使△ABC≌△DEF，则需添加的条件是（）
89692 如图，AD和BC相交于点O，OA=OD，OB=OC，若∠B=40°，∠AOB=110°，则∠D=（）度。
89683 如下图所示，由∠D=∠C，∠BAD=∠ABC推得△ABD≌△BAC，所用的判定定理的简称是[]A.
相关考点及知识拓展
三角形全等的判定
（1）边角边定理：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可简写成“边角边”或“SAS”）；
（2）角边角定理：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角边角”或“ASA”）；
（3）边边边定理：有三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“边边边”或“SSS”）；
（4）角角边定理：两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（简称“AAS”）；
（5）HL定理：斜边和直角边对应相等的两个直角三角形全等（可简写成“斜边、直角边”或“HL”）。

相似三角形的判定
1、相似三角形：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。
2、相似三角形的判定：
判定定理：（1）平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。
（2）如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；
（3）如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似；
（4）如果一个三角形的两角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。
锐角三角函数的定义
1、相关概念：正弦：在直角三角形中，锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即；
余弦：在直角三角形中，锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA，即；
正切：在直角三角形中，锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA，即，
锐角A的正弦、余弦、正切都叫做A的锐角三角函数。
2、锐角三角函数的增减性：当角度在0°~90°之间变化时：
（1）正弦值随着角度的增大而增大；
（2）余弦值随着角度的增大而减小；
（3）正切值随着角度的增大而增大。

Answer 2

1)∵AB⊥AM
又∵AB⊥PQ
∴AM//QP
∴∠QPA=∠PAM
∵AB⊥PQ，AC⊥MN
∴∠AQP=∠ANM
∵AQ=AM
∴△AQP≌△ANM
∴AP=AM,QP=AN
∴∠APM=∠AMP=∠BPC
∵AB⊥AM
∴∠ABM+∠AMP=90°
∵∠ACB=90°
∴∠PBC+∠BPC=90°
∴∠ABM=∠PBC
∴PQ=PC
∴PC=AN
2)由图可知：NP=2，PC=PQ=AN=3，∴AP=3+2=5 ∴AQ=MN=4
∵∠AQP=∠ACB=90°，∠BAC=∠BAC
∴△AQP∽△ACB
∴AC=8，BC=6，AB=10
∵CK：CF＝2:3，设CK＝2k，CF＝3k．则NP：PC＝NE：CK＝2:3
∴NE＝（4/3）k
作NT／／EF交CF于T点，则四边形NTFE是平行四边形，则NE＝TF＝（4/3）k
∴CT=（5/3）k
∵NT／／EF,则∠NTC=∠F
∵EF⊥PM，则∠F+∠HBF=90°
∵∠ACB=90°
∴∠PBC+∠BPC=90°
∴∠PBC=∠F
∴∠PBC=∠NTC
∴△PBC∽△NTC
∵NC=2+3=5，则CT=5/2
∴k=3/2，TF=2，CK＝3,
∵PC=3，则KP=3√￣2
作KG⊥AB交AB于点G
∵∠B+∠BDK+∠DKB=∠DKB+∠DKP＋∠PKC＝180°，∠DKE=∠ABC
∴∠BDK＝∠PKC
∴tan∠BDK＝tan∠PKC＝PC：KC＝1，tan∠B＝AC：BC＝GK：BG=4:3
设GK=4mBG=3m则有BK=5m（勾股定理）
∵BC＝6　KC＝3，则BK=3．∴m＝3／5，则GK=12／5BG＝9／5
∴tan∠BDK＝tan∠PKC＝PC：KC＝1，则GD＝GK＝12／5
∴BD＝9／5＋12／5＝21／5
∵AQ＝4，AB＝10，则DQ=9/5
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自己打的，望采纳