Question

高等数学 多元函数微分学的一道证明题

Answer 1

(x,y)≠(0,0)时，f(x,y)=xy^2/(x^2+y^2)，偏导数fx(x,y)=y^2(y^2-x^2)/(x^2+y^2)^2。
f(x,0)≡0，所以fx(0,0)=0。
当(x,y)沿y=kx趋向于(0,0)时，fx(x,y)=y^2(y^2-x^2)/(x^2+y^2)^2趋向于k^2(k^2-1)/(1+k^2)^2。所以(x,y)→(0,0)时，fx(x,y)不趋向于fx(0,0)。
同理可以证明，fy(0,0)=0但(x,y)→(0,0)时，fy(x,y)不趋向于fy(0,0)。

所以，f(x,y)在(0,0)处的偏导数存在但不连续。

Answer 2

两个偏导数的存在，你只要根据定义就可以求出来fx(0,0)=fy(0,0)=0
证明不连续，只要取x=ky^2
就可以发现极限值是k/(1+k^2)
故二重极限不存在，从而不连续。

Answer 3

　　（1）偏导数用定义计算
　　　　fx(0,0) = lim(x→0){(x*0)/(x^2+0)]/(x-0)} = 0，
　　　　fy(0,0) = …… = 0；
　　（2）因沿着曲线 x =y^2 的极限
　　　　lim(y→0)f(y^2, y) =lim(y→0)[(y^4)/(y^4+ y^4)] = 1/2，
而沿着曲线 x = 0 的极限
　　　　lim(x→0)f(0, y) = … = 0，
可知函数f(x, y) 在 (0, 0) 点的极限不存在，当然不连续。

Answer 4

这个有点麻烦了，介意加q不。