Question

已知函数f（x）=2|x-m|和函数g（x）=x|x-m|+2m-8．

已知函数f（x）=2|x-m|和函数g（x）=x|x-m|+2m-8．若对任意x1∈（-∞，4]，均存在x2∈[4，+∞），使得f（x1）=g（x2）成立，求实数m的取值范围．顺带附图说明

Answer 1

(x)=
2x-m (x≥m)2m-x(x＜m)�6�7，则f（x）的值域应是g（x）的值域的子集．
①当4≤m≤8时，f（x）在（-∞，4]上单调减，
故f（x）≥f（4）=2m-4，g（x）在[4，m]上单调减，[m，+∞）上单调增，
故g（x）≥g（m）=2m-8，
所以2m-4≥2m-8，解得4≤m≤5或m≥6．
②当m＞8时，f（x）在（-∞，4]上单调减，
故f（x）≥f（4）=2m-4，g（x）在[4，
m2]单调增，[
m2，m]上单调减，[m，+∞）上单调增，g（4）=4m-16＞g（m）=2m-8
故g（x）≥g（m）=2m-8，所以2m-4≥2m-8，解得4≤m≤5或m≥6．
③0＜m＜4时，f（x）在（-∞，m]上单调减，[m，4]上单调增，故f（x）≥f（m）=1．g（x）在[4，+∞）上单调增，故g（x）≥g（4）=8-2m，
所以8-2m≤1，即72≤m＜4．
④m≤0时，f（x）在（-∞，m]上单调减，[m，4]上单调增，故f（x）≥f（m）=1．g（x）在[4，+∞）上单调增，
故g（x）≥g（4）=8-2m，所以8-2m≤1，即m≥
72．（舍去）
综上，m的取值范围是[
72，5]∪[6，+∞)．