Question

定义在R上的函数y=f（x），若对任意不等实数x1，x2满足

[f<x1>-f<x2>]/[x1-x2] <0,且对任意的x,y∈R,不等式f(x^2-2x)+f(2y-y^2)≤0成立，又函数y=f<x-1>的图像关于点（1,0）对称，则当1≤x≤4时，y/x的取值范围是

Answer 1

对任意不等实数x1，x2满足

[f<x1>-f<x2>]/[x1-x2] <0,

即是曲线上任意两点连线的斜率k<0

那么函数为减函数

∵函数y=f<x-1>的图像关于点（1,0）对称

f(x)图像向右平移2个单位得到f(x-1)图像

∴f(x)图像关于(0,0)对称

即f(x)是奇函数

对任意的x,y∈R,不等式f(x^2-2x)+f(2y-y^2)≤0成立

即f(x^2-2x)≤-f(2y-y^2)=f(y^2-2y)

∴x^2-2x≥y^2-2y

∴x^2-y^2-2x+2y≥0

 （x-y)(x+y)-2(x-y)≥0

   (x-y)(x+y-2)≥0

又1≤x≤4

构成的区域如图：

y/x的范围[-1//2,1]

追问

为什么可以斜率为正无穷？

追答

没有的，更了

追问

为什么原来的那一块没了，不行？

追答

1≤x≤4