Question

定义在R上的函数y=f(x)若对于任意不等实数x1,x2满足[f(x1)-f(x2)]/(x1-x2)<0且对任意的x,y属于R,不等式f(x

定义在R上的函数y=f(x)若对于任意不等实数x1,x2满足[f(x1)-f(x2)]/(x1-x2)<0且对任意的x,y属于R,不等式f(x^2-2x)+f(2y-y^2)≤0成立,又y=f(x-1)的图像关于点(1,0)对称,则当1≤x≤4时的y/x取值范围

Answer 1

解：因为定义在R上的函数y=f(x)对于任意不等实数x1,x2满足
[f(x1)-f(x2)]/(x1-x2)<0，
不妨设x1>x2,则 x1-x2>0,
所以 f(x1)-f(x2)<0,
所以函数y=f(x)为单调递减函数。
又因为y=f(x-1)的图像关于点(1,0)对称，
所以函数y=f(x)的图像关于点(0,0)对称，
因此函数y=f(x)为奇函数。
因为对任意的x,y属于R,不等式f(x^2-2x)+f(2y-y^2)≤0成立，
即 f(x^2-2x)≤-f(2y-y^2)=f(y^2-2y),
由y=f(x)为奇函数得
y^2-2y≤x^2-2x，整理得 (x-y)(x+y-2)>=0
当1≤x≤4时，运用线性规划（需要自己画图），知
满足条件的x,y的值就是四条直线x=1,x=4,x-y=0,x+y-2=0所围成的部分，
设y/x=k，则y=kx，这是一条经过原点的直线。
由图知，当直线y=kx经过直线x=4与x+y-2=0的焦点是k有最小值，
直线x=4与x+y-2=0的焦点是(4，-2），所以k的最小值=-2/4=-1/2.
当直线y=kx与直线x-y=0重合时，k有最大值1。
所以，y/x的取值范围为[-1/2,1]。

Answer 2

不妨设x1＜x2
f(x1)-f(x2)＞0
所以f(x)在R上递减，

y=f(x)的图像关于点(0,0)对称，则f(x)=-f(-x)
y=f(x)的图像关于点(1,0)对称，则f(x)=-f(-x+2)
y=f(x-1)的图像关于点(1,0)对称，则f(x-1)=-f(-x+3)，即f(x)=-f(-x+4)，

Answer 3

因为对任意不等实数x1，x2满足f(x1)-f(x2)x1-x2＜0，
所以函数f（x）是定义在R上的单调递减函数．
因为函数y=f（x-1）的图象关于点（1，0）对称，
所以函数y=f（x）的图象关于点（0，0）对称，即函数f（x）是定义在R上的奇函数．
又因为对于任意的x，y∈R，不等式f（x2-2x）+f（2y-y2）≤0成立，
所以f（x2-2x）≥f（-2y+y2）成立，
所以根据函数的单调性可得：对于任意的x，y∈R，不等式x2-2x≥y2-2y成立，即（x-y）（x+y-2）≥0（1≤x≤4），
所以可得其可行域，如图所示：
因为yx=y-0x-0，
所以yx表示点（x，y）与点（0，0）连线的斜率，
所以结合图象可得：yx的最小值是直线OC的斜率-12，最大值是直线AB的斜率1，
所以yx的范围为：[-12，1]．
故答案为：[-12，1]．

Answer 4

y=f(x-1)的图像关于点(1,0)对称,y=f(x)的图像关于点(0,0)对称,所以f(x)为

奇函数，所以f(x^2-2x)≤-f(2y-y^2)，f(x^2-2x)≤f(y^2-2y)，

满足[f(x1)-f(x2)]/(x1-x2)<0，y=f(x)为减函数，所以x^2-2x>=y^2-2y

1≤x≤4,x^2-2x的范围为-1≤x≤8， y^2-2y≤-1，（y-1）^2≤0,y=1

y/x取值范围1/4≤x≤1