Question

高一求f(x)的具体方法，谢谢！

例如1 已知f（x）是一次函数，且满足3f(x＋1)－f（x）＝2x＋9求f(x)
2 已知f(x)满足2f(x)＋f(1/x)＝3x求f(x)
3 已知等式f(x－y)＝f(x)－y(2x－y＋1）对一切实数x,y都成立，且f(0)＝1，求f(x). 还有很多，希望能给我举例出来，其实我想问就是-----什么时候用什么方法，还有解题的思路（主要），因为我刚学的，希望详细解答·····若满意，我会加分的！谢谢~

Answer 1

对于例1， 已知f（x）是一次函数，告诉你了函数类型，这是一种较简单的问题，即可直接设f(x)=kx+b(k≠0），(即用待定系数法设出函数）列出方程得3[k(x+1)+b]-(kx+b)=2x+9然后整理得到（2k-2)x+2b-6=0这个式子要对于任何实数x都要成立，只能是2k-2=2b-6=0，得k=1,b=3所以f(x)=x+3。总结：已知函数类型求解析式，先通过待定系数法设出函数，然后代入已知条件，根据函数恒成立解出待定系数，问题解决。
对于例2，思考方式是，求函数解析式，即已知一个数a,如何去求f(a)呢？所以我们开始尝试，将a代入已知条件，即有2f(a)+f(1/a)=3a，这个式子中，我们将3a看成常数，而f(a)是我们要求的量，但是这里多了一项f(1/a)，显然根据这个方程无法将f(1/a)求出，为了获得f(1/a)的信息，我们将1/a代入已知，得2f(1/a)＋f(a)＝3/a,这样，我们得到了另一个关系，而正好这个关系中又含有f(a)，所以我们可以将2f(a)+f(1/a)=3a，2f(1/a)＋f(a)＝3/a,这两个式子看为关于f(a)和f(1/a)的方程组，即可解出f(a)
总结：这是一种很经典的通过方程思想求函数解析式的问题，但是这种类型的题目较少，只要掌握好例2就能对这种题有很好的把握。
例3是一道较为综合的题目，要解决好这种题，首先会解决另一种题型，即
已知f(2x+1)=6x,求f(x)，这种题的做法依然是，首先将函数解析式问题看作，已知一个数k,怎样求f(k)?,由已知条件我们得到f(2x+1)=6x，那我们的思路是，如果能找到一个数x,使得当x代入条件时，等式左边就能得到f(k),这样问题就解决了。于是我们采用换元思想，令2x+1=k,解出x=(k-1)/2,这样一来，我们用(k-1)/2代入f(2x+1)=6x，得到f(k)=3k-3,由于这样的k是任意的，我们就可以得出f(x)=3x-3

下面我们来解决例3，这是一道抽象函数题，题中的对一切实数x,y都成立，告诉我们我们可以任意取x,y来获得我们想要的结果，即我们会使用赋值法。赋值的准则是让代有f符号的部分尽量简单，而不需考虑y(2x－y＋1）这部分结构，因为这部分是我们要求的，再复杂也无所谓。
考虑上一种题型，我们知道，只要能写出只含一个f符号且只有一个未知数的式子，我们就能求出解析式。于是我们对f(x－y)＝f(x)－y(2x－y＋1）赋值，赋值的方法是使一些带f的项消掉，比如另y=0,但我们得到的结果是0=0，对解题无益，于是我们采用第二种方法，即使某些带f的项能够算出来，这是根据题目条件而定的，本题的条件是f(0)＝1，所以我们可以让x-y或者x中任何一项为0都行，这样带f的项就可以被1代替，从而得到化简。比如我们可以让x-y=0，即y=x，所以我们化简有f(0)=f(x)-x(2x-x+1)即有f(x)=x(x+1)+1=x^2+x+1
当然也可以另x=0,得到f(-y)=1-y(-y+1),根据上一道题的做法就可以求出相同的解析式。
总结：这种赋值法的题不用怕，变量越多其实越好，我们可以任意赋值，然后使题变为只有一个变量且只有一个代f符号的题，这样题目就可以迎刃而解

其实楼主总结得已经很全面了，大体来说普通求函数解析式的题就是这么四种类型。当然有更难的题，但是那种难度的题在竞赛里面才会有所体现，如果楼主学有余力可以自己学习，祝楼主学习愉快！

追问

谢谢你，非常详细明白~~

Answer 2

郭敦顒回答：
你“想问就是-----什么时候用什么方法，还有解题的思路（主要），因为我刚学的，”这很好。你的意思是想将感性认识上升到理性认识上来，由特殊到一般。这有点哲学味道，其实要学好数学是要懂得些哲学知识的。
你不必把这看得太神秘，而其实教科书上的各种基本概念、定理、推论等都是属于理性认识的，而各个例题就是属于感性认识上的了。熟能生巧，接触各种题多了，自然能会加深理性认识。下面具体解答所提各题——
1 已知f（x）是一次函数，且满足3f(x＋1)－f（x）＝2x＋9求f(x)
设f（x）=kx+ b，则3f(x＋1)=3[k（x+1）+b]=3kx+3+3b
∴3f(x＋1)－f（x）＝3kx+3+3b－kx－b=2kx+2b+3
∵3f(x＋1)－f（x）＝2x＋9，对应项相等
∴2kx=2x，k=1；2b+3=9，∴b=3，
∴f（x）= x+3
2 已知f(x)满足2f(x)＋f(1/x)＝3x求f(x)
设f（x）=kx，则
2f(x)＋f(1/x)＝2kx+k/x= 3x，
∴k/x= 3x－2kx，k=x²（3－2k），
∴k/（3－2k）=x²，
k≥0，且（3－2k）＞0，3＞2k，k＜3/2
∴0≤k＜3/2；
∴f（x）=kx，0≤k＜3/2。
3 已知等式f(x－y)＝f(x)－y(2x－y＋1）对一切实数x,y都成立，且f(0)＝1，求f(x).
按所给条件，显然f（x）=x²+1，
对于f(0)＝1成立；
f(x－y)＝（x－y）²+1=x²－2xy+y²
f(x)－y(2x－y＋1）= x ²+1－y(2x－y＋1）= x²－2xy+y²，
∴对于等式f(x－y)＝f(x)－y(2x－y＋1）对一切实数x,y都成立，
∴f（x）=x²+1。
这三题都有相当的难度，第1题还较易些，收手较易，关键是“对应项相等”而得k=1，b=3；第2题难度较大了，自始至终都难，不会是事先就能预料到要涉及到不等式和k的取值范围；第3题的难度首先是解题无从入手，那就凭直觉（数学上有直觉主义），从最易处着手，由“f(0)＝1”判断必有“f（x）=x+1”或“f（x）=x²+1”；再从“f(x－y)＝f(x)－y(2x－y＋1）”来判断，必然是“f（x）=x²+1”。 判断不代表证明，这里的证明只要进行验证就可以了，接着是两项验证，与所给条件一至即达证明的目的。

Answer 3

能不能给我财富值？