Question

已知二次函数f（x）=ax^2+bx+c．

若对任意x1、x2∈R且x1＜x2，f（x1）≠f（x2），试证明：存在x0∈（x1，x2），使f（x0）=
1/2[f<x1>+f<x2>]成立

Answer 1

证明存在x0∈（x1，x2），使f（x0）= 1/2[f<x1>+f<x2>]成立
只需证明[f(x1)+f(x2)]/2是f(x)在区间(x1,x2)上的一个函数值即可

f（x）=ax^2+bx+c．
不妨令a>0，
设其对称轴为x=h,顶点坐标为(h,k)

当 h<x1时，f(x)在[x1,x2]上递增
∴f(x)的值域为[f(x1),f(x2)]
那么[f(x1)+f(x2)]/2∈[f(x1),f(x2)]

当h>x2时，同理可证，

当x1≤h≤x2时，
若f(x1)>f(x2)， f(x)的值域为 [k,f(x1)]
那么[f(x2),f(x1)]是值域的子区间
∴ [f(x1)+f(x2)]/2∈[f(x2),f(x1)]
[f(x1)+f(x2)]/2∈ [k,f(x1)]

若f(x1)<f(x2)， f(x)的值域为 [k,f(x2)]
那么[f(x2),f(x1)]是值域的子区间
同样[f(x1)+f(x2)]/2∈ [k,f(x2)]

∴[f(x1)+f(x2)]/2为函数在(x1,x2)内的一个函数值
一定存在x0∈(x1,x2)使得，
f（x0）= 1/2[f<x1>+f<x2>]成立