Question

等差数列{an}中,前n项和为s,若sm=n,sn=sm,求sn+m

等差数列{an}中,前n项和为s,若sm=n,sn=sm,求sn+m
若sm=sn（m不等于n）求sm+n

Answer 1

解:设等差数列首项为a1,公差为d
则Sm=ma1+[m(m-1)d/2]
Sn=na1+[n(n-1)d/2]
（1）若sm=n sn=m则有
sm=ma1+[m(m-1)/2]d=n
sn=na1+[n(n-1)/2]d=m
上两式相减有
(m-n){a1+[(m+n-1)/2]-1}=0
∵m≠n
∴a1+[(m+n-1)/2]d+1=0
即a1+[(m+n-1)]d=-1
∴sm+n=(m+n)a1+[(m+n)(m+n-1)/2]d
=(m+n){a1+[(m+n-1)/2]d}
=-(m+n)
（2）若Sm=Sn则有
ma1+[m(m-1)d/2]=na1+[n(n-1)d/2
即(m-n)a1=(n-m)(n+m-1)d/2
∵m≠n∴a1=-(n+m-1)d/2
∴Sm+n=(m+n)a1+[(m+n)(m+n-1)d/2]
=(m+n)*[-(n+m-1)d/2]+[(n+n)(m+n-1)d/2]
=[(m+n)d/2][-(n+m-1)+(n+m-1)]
=0
即Sm+n=0

Answer 2

┏Sm=ma1+m(m+1)d/2=n ①
┗Sn=na1+n(n+1)d/2=m ②
②-①→（n-m)a1+d[n^2-m^2-(n-m)]/2=m-n
a1+d(m+n-1)/2=-1
2a1+d(m+n-1)=-2
∴Sm+n=(a1+am+n)(m+n)/2 (注:am+n表示第m+n项）
=[2a1+(m+n-1)d](m+n)/2
=-2(m+n）/2
=-(m+n)
若Sm=Sn 即ma1+m(m+1)d/2=na1+n(n+1)d/2
→2a1(m-n)+(m^2-n^2)d-(m-n)d=0
(m-n)(md+nd-d-2a1)=0 {∵a1+am+n=a1+a1+(m+n-1)d=md+nd-d-2a1}
∴(m-n)(a1+am+n）=0 ∵m≠n
∴(a1+am+n)=0
∴Sm+n=(a1+am+n)(m+n)/2=0
终于完了，如果看得不太清楚的话，可拿一张纸按照以上步骤写出来，便可一目了然了。……
呵呵……！！