Question

初中数学题——旋转型相似

已知直角梯形ABCD，AD∥BC，AD=根号3AB，∠A=90°，∠C=60°，DH⊥BC于H，P为BC上一点，作∠EPF=60°，此角的两边分别交AD于E，交CD于F。
（1）如图1，当点P在点B处时，求证：2AE+CF=2CH。
（2）如图2，当点P在点H处时，连接FE，EF、FB与FH交于点K，若AB=2倍根号3，EF=根号21求线段FK的长度。

希望会的人帮忙解答一下【只解答第二问就可以了】，过程最好详细一点，谢谢了。

Answer 1

连接HA，易得△HDF∽HAE，且相似比为1:2，因此HE=2HF，又∠EHF=60°，由余弦定理可得HF=√7，EH=2√7，而EF=√21，故△HFE为直角三角形，∠HFE=90°
∠DFE=∠HFD-90°=∠HEA-90°=∠DHE∵∠DFE+∠FDH=∠DHE+HEF∴∠HEF=∠FDH=30°

∴K为HE中点，FK=√7

哪里不明白可以继续问我哦~

追问

我提问之前就差证K是中点，或者是△FHK为等边三角形了。
可是为什么∴∠HEF=∠FDH=30°之后K就是中点了呢？请详细说明一下。谢谢

追答

答案是√7吗？你有没答案？ 我算得结果是49/19
在H点建立直角坐标系，求得F点坐标，得到BF直线方程，得到K点坐标，即得FK的长度。解析法简单易懂。
利用几何法做的话我只能用到高中的定理才能算出来，初中的几何方法还没有想出来。。。K点不是中点(BF=7,BH=6,HF=√7，用余弦定理得到∠HFB不是特殊角)，没有简单的方法可以求出FK。你再想想吧，不行就解析方法吧。